Equivalencia de forzar nociones de incrustación densa entre ellos

Question

En general, quiero demostrar que la $\mathbb{P}=\left(P,\leq\right)$ y $\mathbb{Q}=\left(Q,\leq\right)$ están obligando a las nociones y hay un denso incrustación $h:P\longrightarrow Q$ , a continuación,$\mathbb{Q\approx P}$.

Siendo más específicos si $G\subseteq P$ $\mathbb{P}$- genérico más de $\mathbf{V}$ , entonces el conjunto $H=\left\{ q\in Q:\exists p\in G\left(q\leq h\left(p\right)\right)\right\}$ es $\mathbb{Q}$ -genérica sobre $\mathbf{V}$ y $\mathbf{V}\left[G\right]=\mathbf{V}\left[H\right]$. Por el contrario, si un conjunto $H\subseteq Q$ es $\mathbb{Q}$ -genérica sobre $\mathbf{V}$ , entonces el conjunto $G=\left\{ p\in P:h\left(p\right)\in H\right\}$ es $\mathbb{P}$ -genérica sobre $\mathbf{V}$ y $\mathbf{V}\left[H\right]=\mathbf{V}\left[G\right]$ .

La primera de las piezas sobre el ser $\mathbb{Q}$-genérica tengo una idea de cómo probar, pero con $\mathbf{V}[G]=\mathbf{V}[H]$ he sido a través de muchos problemas sin ningún resultado.

P. S. Aquí está obligando a una pre-orden con el mínimo elemento.

Answer 1

Supongo que sólo necesita ayuda para demostrar $V[G]=V[H]$ (- por favor me corrija si estoy equivocado).

El siguiente Teorema es la clave: Deje $\mathbb P$ ser un forzando y deje $G$ $\mathbb P$- genérica. A continuación, $V[G]$ es el mínimo transitivos (clase), modelo $M$ $\operatorname{ZFC}$ tal que $\{G\} \cup V \subseteq M$.

La prueba de esto es básicamente trivial. Desde $\{G\} \cup V \subseteq M$, $\tau \in M$ por cada $\mathbb P$nombre $\tau$. Además $M$ satisface $\operatorname{ZFC}$$G \in M$. Esto nos permite construir $\tau^G$ $M$ (donde $\tau^G$ $G$- interpretación de $\tau$). Por lo tanto $\tau^G \in M$ por cada $\mathbb P$nombre $\tau$ y, por tanto,$V[G] \subseteq M$.

Ahora vamos a $G$ $\mathbb P$- genérico y deje $H := \{q \in \mathbb Q \mid \exists p \in G \colon h(p) \le q \}$. Voy a probar que $V[G] \subseteq V[H]$ y deja el resto de los casos, como un ejercicio para usted (si se queda atascado, no dude en pedir ayuda adicional).

Por el Teorema anterior basta para mostrar que $G \in V[H]$: $V[H]$ y deje $G' := \{ p \in \mathbb P \mid \exists q \in H \colon h(p) \ge q \}$. Claramente $G \subseteq G'$. Por el contrario, vamos a $p' \in G'$. En $V$, considerar el conjunto $D := \{ p \in \mathbb P \mid p \perp p' \vee p' \le p \}$. Este es un denso conjunto en $\mathbb P$ y desde $G$ $\mathbb P$- genérica, se puede corregir algunos $p \in D \cap G$. Supongamos que $p \perp p'$. A continuación,$h(p) \perp h(p')$, contradiciendo el hecho de que $h(p),h(p') \in H$.

Por lo tanto $p' \le p$. Desde $p \in G$ $G$ es un filtro, este rendimientos $p' \in G$ e lo $G' \subseteq G$. Por lo tanto $G = G' \in V[H]$.