Por favor ayúdame a probar el problema:
Demuestre que el operador$T:\ell^{2} \rightarrow \ell^{2}$ definido por$T(\{x_{n}\})=\{2^{-n}x_{n}\}$ es compacto.
Tanques para su pista.
Respuestas
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carlfriedrich
Puntos
21
$\ell^2$ es de Hilbert, lo $T$ es compacto iff la imagen de cualquier débilmente convergente secuencia en $T$ converge. Se puede demostrar que los $T$ es compacta como sigue:
Deje $x^k\stackrel{\omega}{\rightarrow}x$, ya que el $\ell^2$ es completa, es suficiente para demostrar que $\{Tx^k\}_k$ es de Cauchy. Observe que $||Tx^k-Tx^l||_{\ell^2}^2=\sum_{n\geq1}2^{-2n}|x_n^k-x_n^l|^2$. Hemos de convergencia para cada plazo, ya que la proyección en un término de la secuencia es un operador lineal y tenemos la debilidad de la convergencia. Para cada $\epsilon >0$ podemos optar $n_0,\ k_0\in\mathbb{N}$ tal que para cada a $n\leq n_0$ $k,\ l>k_0$ tenemos $|x_n^k-x_n^l|<\epsilon$$\sum_{n>n_0}2^{-2n}<\frac{\epsilon}{||x^k -x^l||_{\ell^2}^2}$. Entonces: $$||Tx^k-Tx^l||_{\ell^2}^2=\sum_{n\geq1}2^{-2n}|x_n^k-x_n^l|^2 = \sum_{n=1}^{n_0}2^{-2n}|x_n^k-x_n^l|^2 + \sum_{n>n_0}2^{-2n}|x_n^k-x_n^l|^2<$$ $$<\sum_{n=1}^{n_0}2^{-2n}\epsilon^2 + \sum_{n>n_0}2^{-2n}||x_n^k-x_n^l||_{\ell^2}^2<n_0\epsilon^2 + \epsilon$$ Y esto concluye la prueba.
