Probabilidad de producto

Question

Tengo una variable aleatoria $Z = XY$ donde $Y$ es una variable aleatoria de las que se desconoce la distribución y $X$ es el ruido inducido por un proceso de muestreo, los cuales se distribuyen de manera uniforme en $U(0,1)$. $X$ y $Y$ son independientes. $Y$ es de una paramétrica de la familia y no negativo.

El p.d.f. de $Z$ es dado aquí:

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x) f_Y \left (\frac{z}{x} \right ) \frac{1}{|x|} dx,$$

que se simplifica a

$$f_Z(z) = \int_{0}^1 f_Y \left (\frac{z}{x} \right ) \frac{1}{|x|} dx,$$

dado $X$$U(0, 1)$.

Primera pregunta: es el anterior correcta y útil?

Segunda pregunta: suponiendo que yo tenga observaciones para$Z$, ¿cómo se aplican las fórmulas anteriores para obtener la distribución y los parámetros de $Y$? En el final, quiero ser capaz de probar de $Y$.

Answer 1

Si observas $Z$ y asumen $X$ $Y$ son independientes, entonces, si todo lo que quiero hacer es muestra de $Y$, usted incluso no necesita saber el pdf de $Z$ o $Y$.

Digamos que usted observe $Z_1,...,Z_n$. A continuación, basta con dibujar $X_1,...,X_n \sim U(0,1)$ y establezca $Y_i = Z_i/X_i$$i=1,...,n$.

Por arbitrariamente un tamaño de muestra de $Y$ (uno mayor que $n$) de forma aleatoria de la muestra de $Z_1,...,Z_n$ y repita el procedimiento anterior.

Gracias a @whuber por señalar que lo anterior es incorrecto. En lugar de hacer eso, voy a proponer un Método de los Momentos (MM) técnica para el caso especial en que $Y$ se distribuye de la chi-cuadrado, como se sugiere en los comentarios del post original.

Deje $Y\sim \chi (k)$$X \sim U(0,1)$. Tenga en cuenta que $E[Z]=E[XY]$. Si $cov[X,Y]=0$, que sería la verdadera virtud de la independencia, a continuación,$E[XY]=E[X]E[Y]=.5 \times k$. Por lo $2 \times E[Z]=k$, y finalmente; $$\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n Z_i \aprox k$$

usted podría ronda de la anterior para calcular el chi-cuadrado del parámetro. Esta estimación es consistente, lo que significa que como $n \rightarrow \infty$ va a converger en $k$. Sin embargo, no es necesariamente estadísticamente más eficiente estimador, lo que significa que los estimadores con menor variación podría ser propuesto.