Es una buena práctica de trabajo con sumatorias.
Vamos $F_1(x)=\sum_{n\ge 0}a_nx^n$, $F_2(x)=\sum_{n\ge 0}b_nx^n$, y $F_3(x)=F_1(x)F_2(x)=\sum_{n\ge 0}c_nx^n$, en donde sabemos que
$$c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\;.$$
Ahora
$$\begin{align*}
F_1(x)F_2'(x)&=\sum_{n\ge 0}a_nx^n\sum_{n\ge 0}nb_nx^{n-1}\\
&=\sum_{n\ge 0}a_nx^n\sum_{n\ge 0}(n+1)b_{n+1}x^n\\
&=\sum_{n\ge 0}\sum_{k=0}^na_k(n-k+1)b_{n-k+1}x^n
\end{align*}$$
y
$$\begin{align*}
F_1'(x)F_2(x)&=\sum_{n\ge 0}na_nx^{n-1}\sum_{n\ge 0}b_nx^n\\
&=\sum_{n\ge 0}(n+1)a_{n+1}x^n\sum_{n\ge 0}b_nx^n\\
&=\sum_{n\ge 0}\sum_{k=0}^n(k+1)a_{k+1}b_{n-k}x^n\;,
\end{align*}$$
por lo que el coeficiente de $x^n$ $F_1(x)F_2'(x)+F_1'(x)F_2(x)$ es
$$\begin{align*}
&\sum_{k=0}^n(n-k+1)a_kb_{n-k+1}+\sum_{k=0}^n(k+1)a_{k+1}b_{n-k}\\\\
&\quad=(n+1)a_0b_{n+1}+\sum_{k=1}^n(n-k+1)a_kb_{n-k+1}+\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)a_{k+1}b_{n-k}+(n+1)a_{n+1}b_0\\\\
&\quad=(n+1)a_0b_{n+1}+\sum_{k=1}^n(n-k+1)a_kb_{n-k+1}+\sum_{k=1}^nka_kb_{n-k+1}+(n+1)a_{n+1}b_0\\\\
&\quad=(n+1)a_0b_{n+1}+\sum_{k=1}^n(n+1)a_kb_{n-k+1}+(n+1)a_{n+1}b_0\\\\
&\quad=(n+1)\sum_{k=0}^{n+1}a_kb_{n+1-k}\\\\
&\quad=(n+1)c_{n+1}\;,
\end{align*}$$
que es, por supuesto, el coeficiente de $x^n$ $$F_3'(x)=\sum_{n\ge 0}(n+1)c_{n+1}x^n\;.$$
