Función discontinua en un conjunto incontable con no racionales

Question

¿Existe una función $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ tal que $D(f)$ (sus puntos de discontinuidad) es un conjunto incontable que no contiene ningún número racional?

Lo primero que pensé fue $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ (incontable, sin racional), pero no funcionará, ya que no es un $F_\sigma.$ Por lo tanto, no existe ninguna función cuyo punto de discontinuidad sea precisamente $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ .

Answer 1

Una forma sencilla de demostrar que existe un conjunto de Cantor disjunto de los racionales es recordar que $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ como subespacio de $\mathbb{R}$ con la topología habitual, es homeomorfo a $\omega^\omega$ con la topología del producto. (Se puede encontrar una prueba aquí .) $\omega^\omega$ contiene claramente numerosas copias de $\{0,1\}^\omega$ que, como es bien sabido, es un conjunto de Cantor.

Answer 2

Por ejemplo, se puede construir fácilmente un conjunto tipo Cantor que no contenga ningún racional. Empezaré con $[a,b]$ donde $a$ y $b$ son irracionales con $0 < a < b < 1$ y retirar en la fase $n$ un intervalo abierto $U_n$ tal que 1) $U_n$ tiene extremos irracionales 2) Los cierres de todos los $U_n$ son disjuntos 3) $r_n$ (el $n$ en alguna enumeración de los racionales en $(a,b)$ ) está en $\bigcup_{j=1}^n U_j$ .

Toma $E = [a,b] \backslash \bigcup_{j=1}^\infty U_j$ . Defina $f$ como función indicadora de $E$ .

Answer 3

Existen subconjuntos cerrados de $[0,1]\setminus\mathbb Q$ con medida positiva, medida positiva implica incontabilidad, y los conjuntos cerrados son $F_\sigma$ s, así que sí. Para algunas otras preguntas que se refieren a subconjuntos de $\mathbb R\setminus\mathbb Q$ con determinadas propiedades, véase aquí , aquí y aquí . No es necesario tener en cuenta la medida. Véase en particular el segundo enlace, y nótese que los conjuntos perfectos son incontables.

Answer 4

No sirve cualquier conjunto tipo Cantor con extremos irracionales. Por ejemplo, si se restringe la longitud del segmento eliminado a $\epsilon^n$ en cada estado en el punto medio del intervalo, se encontrará con problemas de no reducción de la medida a 0 y le sobrarán racionales (habrá intervalo cerca de $a$ ). (aunque el método funciona si se pone más restricción).

Usa el conjunto de Cantor. Sea $C$ sea el conjunto Cantor 1/3 (quitando 1/3 cada vez). Es incontable, compacto, y todos los elementos son racionales o trascendentales (me referiré a la página del conjunto de Cantor de wikipedia. Por favor, búscalo con más detalle).

Sea el conjunto $S = \frac{\sqrt{2}}{2}C$ . Se nota que $S \subset [0,1]$ también cada elemento de $C$ que es racional se convertirá en irracional, los números trascendentales no son números algebricos, por lo que si multiplicas por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ que es un número algebraico, sigues obteniendo un número no algebraico que no puede ser racional. Es bastante claro que es incontable (hay una biyección de $S$ a $C$ . (También es compacto).