¿Cuál es el área de la región sombreada que se encuentra entre el círculo exterior y el círculo interior?

Question

Hay un círculo exterior con radio 2r y otro círculo interior con radio r cuyo centro es el centro del círculo grande. Como se muestra en la siguiente figura.

Imagen del gráfico de Foo

Hay un sector de 120 grados en el círculo interior que conduce a la parte sombreada entre el círculo exterior e interior. ¿Cuál es el área del círculo sombreado en términos de r?

es decir, ¿cuál es el valor de K?

Answer 1

Supongamos, sin pérdida de generalidad (WLOG por sus siglas en inglés), que $r=1$.

Utilicemos un sistema de coordenadas centrado en el círculo grande. Entonces la línea oblicua a la derecha tiene la ecuación $x=\sqrt3(y-1)$ y se encuentra con el círculo $x^2+y^2=4$.

Resolviendo la ecuación cuadrática, el punto de intersección es $(\dfrac{\sqrt{39}-\sqrt3}4,\dfrac{\sqrt{13}+3}4)$.

Por lo tanto, el ángulo de apertura del sector grande es

$$\theta=2\arctan\left(\frac xy\right)=1.19873\cdots \text{rad}=68.6821\cdots°.$$

El área solicitada es la diferencia entre el sector grande y el sector pequeño y dos triángulos con base $1$ y altura $x$.

$$K=\frac\theta2\,2^2-\frac\pi31^2-\frac22x=4\arctan\left(\frac{\sqrt{39}-\sqrt3}{\sqrt{13}+3}\right)-\frac\pi3-\dfrac{\sqrt{39}-\sqrt3}4=0.222026268\cdots.$$

Answer 2

Dibuja una línea desde el centro del círculo más grande hasta la esquina más a la izquierda de la región sombreada. Esto tiene una longitud de $2r$. Luego tenemos un triángulo obtuso con el ángulo más grande de $\frac {2\pi}{3}$, debido a la simetría. Deje que $\theta$ sea el ángulo entre los radios.

Utilizando la regla del seno, tenemos $$\sin\frac {2\pi}{3}=2\sin(\frac{\pi}{3}-\theta)$$ Expandiendo y reorganizando, obtenemos $$\sqrt3\cos\theta-\sin\theta=\frac {\sqrt3}{2}$$ Ahora, una transformación de ángulo compuesto da $$2\cos(\theta+\frac {\pi}{3})=\frac {\sqrt3}{2}$$ Así $$\theta=-\frac {\pi}{6}+\arccos(\frac {\sqrt3}{4})$$ Luego el área también se puede escribir como: $$\frac 12(2r)^22\theta-\frac 13\pi r^2-2(\frac12)(2r)(r)\sin\theta$$ lo cual se simplifica a $$r^2\left(-\pi+4\arccos(\frac{\sqrt3}{4})+\frac{\sqrt3}{4}-\frac{\sqrt{39}}{4}\right)$$ Esto es lo mismo que la respuesta ya encontrada, pero en una forma ligeramente más ordenada.

Answer 3

También puedes resolver fácilmente el problema rotando la figura en sentido horario $90^o$ de modo que la línea punteada coincida con el eje x y el centro del círculo exterior en el origen. Así, la ecuación del círculo exterior es: $x^2+y^2=4r^2$ y la ecuación del radio sobre el eje x es: $y-0=\tan60^o(x-r)$ o $y=\sqrt{3}(x-r)$ resolviendo la ecuación para el punto de intersección de la recta y el círculo exterior como sigue $$x^2+(\sqrt{3}(x-r))^2=4r^2 => 4x^2-6rx-r^2$$ ahora, resolviendo para la coordenada x, obtenemos $$x=\frac{6r\pm\sqrt{36r^2+16r^2}}{8}=\frac{r(3\pm \sqrt{13})}{4}$$ Considera un triángulo rectángulo sobre el eje x obtenido uniendo el punto de intersección (en el primer cuadrante) con el centro del círculo exterior, obtenemos un ángulo de semiluz $\alpha$ en el centro del círculo exterior como sigue $$\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{\frac{r(3+\sqrt{13})}{4}}{2r}\right)=\cos^{-1}\left(\frac{3+\sqrt{13}}{8}\right)=\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{42-6\sqrt{13}}}{8}\right)$$

Por lo tanto, el área sombreada es $$=\frac{1}{2}(2\alpha)(2r)^2-2\left(\frac{1}{2}(r)(2r)(\sin\alpha)\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{2\pi}{3}\right)(r^2)=r^2\left(4\cos^{-1}\left(\frac{3+\sqrt{13}}{8}\right)-\frac{\pi}{3}-\left(\frac{\sqrt{42-6\sqrt{13}}}{4}\right)\right)$$ Por lo tanto, obtenemos que $$K=4\cos^{-1}\left(\frac{3+\sqrt{13}}{8}\right)-\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{42-6\sqrt{13}}}{4}\approx0.222026268$$

Answer 4

Algo así: $$ 2r^2\left(\int_0^{\frac{\sqrt{3}}2} \left(\sqrt{4-x^2} - 1 - \sqrt{1-x^2} \right)dx + \int_{\frac{\sqrt{3}}2}^{\frac{\sqrt{13}-1}4} \left(\sqrt{4-x^2} - 1-\frac{\sqrt{3}x}2 \right)dx \right) $$