cada punto en el límite de la región de convergencia es singular

Question

Estoy dada la siguiente función:

$$f(z)=1+z^2+z^4+z^8+z^{16}+ \cdots$$

y deberá demostrar que es holomorphic en la unidad de disco, que $f\to\infty$$z\to e^{2i\pi/2^n}$, y que cada punto en el círculo $|z|=1$ es singular. Yo lucho con la última parte. Parece intuitivo, ya que estamos sumando puntos diferentes en el círculo que parecen no tener ninguna estructura, pero ¿cómo puedo mostrar esto?

muchas gracias,

-m.p.

Answer 1

En primer lugar, $f(z)\rightarrow\infty$$z\rightarrow 1^-$. Por lo $z=1$ es una singularidad.

Desde $f(z)=z^2+f(z^2)$ tenemos que si $z^2\rightarrow 1^-$$f(z)\rightarrow\infty$. Por lo $z$ tal que $z^2=1$ son singularidades.

Podemos escribir $f(z)=z^2+z^4+f(z^4)$ así que si $z^4\rightarrow 1^-$$f(z)\rightarrow\infty$.

Continuando de esta manera vemos que para cualquier $n$ cualquier $z$ tal que $z^{2^n}=1$ es una singularidad de $f(z)$. Tal $z$ son densos en el círculo unidad.

Answer 2

La segunda parte ayuda a responder a la última parte. Esto implica (con un poco de ajuste) que cada punto en el círculo es un punto límite de puntos donde se $f$ golpes.