Deje $X$ $Y$ ser espacios de Banach y $A:X\to Y$ ser un delimitada operador lineal. Suponga que $y\in \overline {A(X)}$. Podemos elegir siempre un delimitada secuencia $(x_n)\subset X$ tal que $\displaystyle \lim_{n\to \infty} Ax_n=y$?
Respuesta
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Considere la posibilidad de que el operador $A: \ell_2\rightarrow \ell_2$ que $A((x_n)_{n\in \mathbb{N}})=(\tfrac{x_n}{n})_{n\in \mathbb{N}}$ y tome $\tilde{y}=(\tfrac{1}{n})_{n\in\mathbb{N}}$. Este es un elemento de $\ell_2$ que no pertenece a la imagen de $A$, sin embargo pertenece en $\overline{A(\ell_2)}$ $A(\ell_2)$ es denso en $\ell_2$. Nuestro objetivo es mostrar que cada secuencia $(\tilde{x}_n)_{n\in \mathbb{N}}$ $\ell_2$ tal que $A\tilde{x}_n\rightarrow \tilde{y}$, es ilimitado.
Permite escribir cada una de las $\tilde{x}_n$$\tilde{x}_n=(x_k^n)_{k\in\mathbb{N}}$. La idea es que desde $\|A\tilde{x}_n-\tilde{y}\|_2^2=\sum_{k=1}^\infty \frac{(x^n_k-1)^2}{k^2}\underset{n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0$, una gran cantidad de números $x_k^n$ tendrá que estar "cerca" $1$. Pero estos $x_k^n$ a inflar la correspondiente norma $\|\tilde{x}_n\|_2= \left(\sum_{k=1}^\infty (x_k^n)^2\right)^{1/2}$.
Deje $N_0\in \mathbb{N}$. Para $\varepsilon = \sum_{k=N_0}^\infty \frac{1}{4k^2}$, existe un $n_0$ tal que $$ \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{x_k^n-1}{k}\right)^2<\varepsilon=\sum_{k=N_0}^\infty \frac{1}{4k^2}, \ \ \forall n\geq n_0.$$ Consideramos los conjuntos de $A_n=\{k\in \mathbb{N}: x_k^n\geq \tfrac{1}{2}\}$. Entonces la cardinalidad de cada una de las $A_n$ al menos $\#A_n\geq N_0$. Si no, entonces $$\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{x_k^n-1}{k}\right)^2 \geq \sum_{k\notin A_n} \left(\frac{x_k^n-1}{k}\right)^2 \geq \sum_{k\notin A_n} \frac{ 1}{4k^2}\geq \sum_{k=N_0}^\infty \frac{ 1}{4k^2}=\varepsilon, $$ una contradicción.
Así, para cada $n\geq n_0$, $\|\tilde{x}_n\|_2\geq \left(\sum_{k\in A_{n}} \frac{1}{4}\right)^{1/2}\geq \frac{\sqrt{N_0}}{2}$. Desde $N_0$ fue arbitraria, $(\tilde{x}_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es ilimitado.
