delimitada operador entre funciones continuas

Question

Deje $M: C([0,1]) \rightarrow C([0,1])$ ser definido por $$ Mf(x) = f(x/2), \;\; x\in[0,1]$$ Mostrar que $M$ es limitado y que su espectro es containd en la cerrada de la unidad de disco $\{ \lambda \in \mathbb{C} |\lambda| \leq 1 \}$

yo: $$ \|M\| = \sup_{\|f\| \leq 1} \|Mf\| = \sup_{\|f\| \leq 1} \|f(x/2) \| \leq \|f\|$$

desde $\lim_{k\rightarrow \infty} M^kf(x) = f(0)$ y el radio espectral $\sigma (M) = \lim_{k\rightarrow \infty} |M^k|^{1/k} = |f(0)|^{1/k} = 1$
Es esto correcto?

Answer 1

Correcto. Por otra parte, no es necesario calcular espectral de la radio, porque
$$ \sigma(T)\subconjunto \{z\in\mathbb{C}:|z|\leq\Vert T\Vert\} $$ para cualquiera limitada opearator $T:X\to X$ arbitrarias espacio de Banach $X$.