¿Cómo derivar la forma del operador de paridad que actúa sobre los espinores de Lorentz?

Question

Estoy leyendo la sección 19 de Berestetskii (Volumen 4 de Landau & Lifshitz) sobre la inversión de espinores. Berestetskii dice que la paridad $P$ mapea espinores no punteados en espinores punteados y viceversa como $\xi^{A}\rightarrow i\eta_{\dot{A}}$ y $\eta_{\dot{A}}\rightarrow i\xi^{A}$ . Creo que quiere decir que hay tensores de paridad $P_{\dot{A}B}$ y $P^{A\dot{B}}$ que actúan como, $$ \eta_{\dot{A}}=P_{\dot{A}B}\xi^{B} \\ \xi^{A}=P^{A\dot{B}}\eta_{\dot{B}} $$ y que satisfacen $P^{2}=-1$ , $$ P^{A\dot{C}}P_{\dot{C}B}=-\delta^{A}_{B} \ . $$ El mapa de Berestetskii dice entonces, $P_{\dot{A}B}=P^{A\dot{B}}=i\delta_{AB}$ lo que sólo es cierto en (presumiblemente) el marco de reposo de los fermiones. He intentado derivar los componentes de los tensores de paridad imponiendo varias restricciones matemáticas y de motivación física, pero sólo puedo obtener $P^{A\dot{B}}$ diagonal con entradas $a,1/a^{*}$ y $P_{\dot{A}B}$ diagonal con entradas $-1/a,-a^{*}$ . La paridad de Berestetskii se recupera tomando $a=i$ por lo que mi pregunta es: "¿Cuáles son las restricciones adicionales necesarias para poder establecer $a=i$ ?"

Answer 1

Diciendo que $P(\xi^A)= i~\eta_{\dot A}$ significa que $P_{\dot 0 0 } = P_{\dot 1 1 } = i$

Así, la matriz $P_{\dot A B}$ es igual a : $i ~\mathbb {Id} $

Del mismo modo, decir que $P(\eta_{\dot A})= i \xi^A$ significa que $P^{0 \dot 0} = P^{1 \dot 1} = i$

Así, la matriz $P^{ A \dot B}$ es igual a : $i ~\mathbb {Id} $