Si los primos se dividen bien, ¿es una extensión de Galois?

Question

Deje que $L/K$ ser una extensión finita de los campos de números. Cuando $L/K$ es Galois, el grupo Galois $\Gamma = \textrm {Gal}(L/K)$ actúa de forma transitoria en los primos $\mathfrak P$ de $L$ que se encuentra sobre cualquier primo dado $\mathfrak p$ .

Para $\mathfrak P \mid \mathfrak p$ el índice de ramificación $e( \mathfrak P/ \mathfrak p)$ y el grado de residuos $f( \mathfrak P/ \mathfrak p)$ dependen sólo de la extensión de los anillos locales $( \mathcal O_K)_{ \mathfrak p} \subseteq ( \mathcal O_L)_{ \mathfrak P}$ . Como cualquier $\sigma \in \Gamma$ induce un isomorfismo de anillos localizados $( \mathcal O_L)_{ \mathfrak P} \rightarrow ( \mathcal O_L)_{ \sigma \mathfrak P}$ podemos concluir que los números $e( \mathfrak P/ \mathfrak p)$ y $f( \mathfrak P/ \mathfrak p)$ son constantes para todos $\mathfrak P \mid \mathfrak p$ .

¿Es cierto lo contrario? Es decir, si para cada uno $\mathfrak p$ los números $e( \mathfrak P/ \mathfrak p)$ y $f( \mathfrak P/ \mathfrak p)$ son constantes para todos $\mathfrak P \mid \mathfrak p$ ¿podemos concluir que $L/K$ es Galois?

Answer 1

Como aprendí en una pregunta mía en MathOverflow la respuesta es sí, $L/K$ debe ser Galois.

Es básicamente debido a El teorema de Chebotarev .