Elementos coprimas en anillos finitos

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo finito. Consideremos los elementos $a,b \in R$ tal que $Ra+Rb=R$ . Un artículo que estoy leyendo afirma que existe un $x,y \in R$ tal que $x(a+yb) = 1$ .

Por supuesto, está claro que podemos encontrar algunos $x,y \in R$ tal que $xa+yb=1$ pero no está claro que podamos obtener la afirmación más fuerte anterior. Es equivalente a decir que existe algún $y \in R$ tal que $a+yb$ es una unidad.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Esto es cierto de forma más general en cualquier (unidad conmutativa) anillo semilocal (anillo que sólo tiene un número finito de ideales máximos), y es una consecuencia de la siguiente forma especial del lema de evitación de primos :

Dejemos que $p_1, \dots, p_n$ sean ideales primos, y que $I$ sea un ideal y $a\in R$ tal que $aR+I\not\subseteq \cup_{i\le n} p_i$ entonces existe $\beta\in I$ tal que $a+\beta\notin \cup_{1\le i\le n} p_i$ .

Ahora bien, si $aR+bR=R$ y luego aplicar el resultado anterior a $I=bR$ y $p_1,\dots, p_n$ los ideales máximos de $R$ . Obsérvese que la unión de los $p_i$ es exactamente el conjunto de los elementos no invertibles de $R$ .

Se puede encontrar una prueba del lema de evitación de primos en Kaplansky, Commutative Rings, p. 90, Thm 124, o en Bruns & Herzog, Cohen-Macaulay Rings, Lemma 1.2.2.

Nótese que para los anillos finitos, probablemente exista una prueba más sencilla.

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Edición: segunda prueba . ¿Cómo puedo olvidar mi CRT favorito?

Dejemos que $R$ sea semilocal (esto incluye, por supuesto, el anillo finito: si $m_1, \dots, m_n$ son ideales máximos distintos por parejas, entonces $m_1, m_1\cap m_2, \dots, m_1\cap ...\cap m_n$ es una secuencia estrictamente decreciente de subgrupos, por lo que $n$ está limitada por la cardinalidad de $R$ ). Sea $m_1,\dots, m_n$ sean los ideales máximos de $R$ . Para cada $i\le n$ existe $c_i\in R$ tal que $$a+bc_i\not\equiv 0 \mod m_i.$$ Esto está claro si $b\not\equiv 0 \mod m_i$ de lo contrario, $b\in m_i$ Por lo tanto $a\notin m_i$ por $aR+bR=R$ , entonces toma cualquier $c_i\in R$ . Ahora, por CRT, existe $c\in R$ tal que $c\equiv c_i \mod m_i$ para todos $i\le n$ . Por lo tanto, $a+bc\notin m_i$ para todos $i\le n$ . Esto implica que $a+bc$ es una unidad.