Mostrar que la teoría de la $Th(\mathbb N)$ en el primer orden de la lógica con la finitud del cuantificador es categórico

Question

Supongamos que una finitud cuantificador $\mathbf Fx$ es añadido a la primera orden de la lógica. Su semántica son: $\mathbf Fx\Phi(x)$ que es verdad en un modelo sólo en caso de que hay un número finito de cosas en el dominio del modelo que satisfacer $\Phi(x)$

Así que tengo que probar un isomorfismo con de $Th(\mathbb N)$ con la finitud del cuantificador. Pero el kicker es que no puedo utilizar ninguna de las metatheory de regular FOL para esto. No compacidad etc. Yo realmente no sé cómo proceder.

Qué$Th(\mathbb N)$, incluso se ven muy diferentes con una finitud cuantificador?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Sugerencia:

Mostrar que $\forall x.\mathbf{F}y(y<x)$ que es verdad en $\mathbb N$. Ahora supongamos que $M$ es otro modelo de $Th(\mathbb N)$, tiene que ser linealmente ordenado, y cada segmento inicial tiene que ser finito.

Ahora, la construcción del isomorfismo por inducción (mínimo a mínimo, etc.)