Más información sobre las versiones del teorema de Peter-Weyl

Question

Las siguientes tres afirmaciones parecen análogas:

1. Para un grupo finito $G$ el álgebra de grupo $\mathbb C[G]$ se descompone como $\bigoplus_{V {\rm\ irred}} V^* \otimes V$ .

2. (Peter-Weyl) Para un grupo compacto $G$ el espacio de las funciones cuadradas-integrables $L^2(G)$ es el $L^2$ -compleción de $\bigoplus_{V {\rm\ unitary\ irred}} V^* \otimes V$ .

3. Para un grupo reductor complejo $G$ el álgebra de coordenadas ${\mathcal O}[G]$ se descompone como $\bigoplus_{V {\rm\ finite\ irred}} V^* \otimes V$ .

El primer espacio es un álgebra de funciones bajo producto de convolución y el tercero bajo multiplicación puntual. (No estoy muy seguro ahora sobre el segundo -- ¿tiene una estructura de álgebra?). Las descomposiciones son como representaciones donde $G \times G$ actúa en cada espacio de funciones por traslación izquierda/derecha, por lo que la estructura del álgebra no importa. Pero aún así, ¿por qué esta falta de simetría? ¿Es realmente así?

Answer 1

A lo que se refieren es a una propiedad de la luz de la óptica geométrica. La propiedad conservada es "entendue" (ver artículo de wikipedia ), y la constancia de la luminosidad puede demostrarse de muchas maneras (óptica hamiltoniana, es decir, el teorema de Liouville, la segunda ley de la termodinámica, etc.).

Answer 2

También hay que señalar esta pregunta lo que demuestra que, para $V$ una simple representación de $G$ El $V$ componente isotípico de $\mathbb{C}[G]$ es $V \otimes V^{\vee}$ . Esa pregunta se hace en el contexto algebraico, pero la prueba es una tontería formal que funciona en cualquier entorno razonable.

Así que es fácil ver que la unión de las subrepciones de dimensión finita de $\mathbb{C}[G]$ es siempre $\bigoplus V \otimes V^{\vee}$ . Lo que no es trivial es ver que esto es denso en cualquier espacio de función/distribución que estés considerando (como se discute en la excelente respuesta de David Loeffler).