Una pregunta directa sobre sumas y productos de módulos de

Question

Estoy leyendo sobre el tensor de productos de módulos y no entiendo el siguiente párrafo de la página 2:

Aunque los elementos de $M \times N$ $M \oplus N$ se escriben de la misma manera, como pares de $(m, n)$, bilineal funciones de $M \times N \rightarrow P$ no debe ser confundido con funciones lineales $M \oplus N \rightarrow P $. Por ejemplo, la adición de una función de $ R \oplus R \rightarrow R $ es lineal, sino como una función de $R \times R \rightarrow R$ no es bilineal. La multiplicación como una función de $R \times R \rightarrow R$ es bilineal, sino como una función de $R \oplus R \rightarrow R$ es no lineal. Las funciones lineales son generalizadas, adiciones y bilineal funciones son generalizadas las multiplicaciones.

Mis preguntas son:

1. ¿Por qué la distinción entre el$\times$$\oplus$? No son los mismos para finito de sumas (productos)?

2. No entiendo cómo puede ser lineal, pero no bilineal. Seguramente, si $(a,b) \mapsto a + b$, entonces no importa en que el argumento es lineal. (Pensar, por ejemplo,$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$)

3. Y si $(a,b) \mapsto ab$, entonces ¿cómo puede ser lineal en ambos argumentos (bilineal) pero no estar en un (lineal). Es difícil escribir esta frase ya no tiene sentido para mí.

Muchas gracias por tu ayuda!

Answer 1

Bi-lineal significa que la fijación de un argumento, el resultado de la función de el otro argumento es lineal. En su ejemplo, $(a,b)\mapsto a+b$ (es decir, más de $\mathbb{Z}$), la fijación $a =1$, la función de $b\mapsto b+1$ no es lineal desde $b1 + b2\mapsto b1 + b2 +1$ e no $(b1+1)+(b2+1)=b1+b2+2$. Por otro, lado la función de $(a,b)\mapsto a\cdot b$ es bilineal. por ejemplo, la fijación de $a = 2$ obtenemos la función de $b\mapsto 2b$, lo que es claramente lineal en $b$. Supongo que una vez claro esto por ti mismo, el resto va a seguir fácilmente.

EDIT: finito de sumas finitas y productos de los módulos son "el mismo", aunque esto debe ser pensado como un "teorema" y no una definición. La forma correcta de abordar estos problemas es el uso de la lengua de la categoría de la teoría y propiedades universales. Para hacer corta una historia larga, me limitaré a decir que las funciones lineales de algún módulo de $L$ $M\times N$se encuentran en la correspondencia a los pares de funciones lineales, uno de $L$ $M$y uno de $L$ $N$mientras que los pares de funciones lineales uno de $M$ $L$y uno de $N$ $L$se encuentran en la correspondencia con las funciones lineales de$N\oplus M$$L$. Mientras que es fácil ver que este es "el mismo" para cada par de módulos de $M,N$ esto rompe infinitas familias de módulos (tratar de encontrar los correspondientes módulos y ver por qué son diferentes). También se puede pensar en las nociones que en otras "categorías" como grupos o espacios topológicos (con un grupo homomorphisms y continúa funciones resp.) y ver que, en general, la "suma" y "producto" son muy diferentes. Si usted está interesado en el aprendizaje de la larga historia (que es muy interesante en mi opinión), usted puede tratar de leer acerca de la suma categórica y por categorías de producto en la wikipedia que también lo conducirá naturalmente a la noción de universal de los bienes.