Cómo calcular el intervalo más corto, para $P ( X ≤ 1 . 645) = 0 . 95$?

Question

El enunciado del problema dice:

Basado en el hecho de que $\Phi(1 . 645) = 0 . 95$ encontrar un intervalo en el que $X$ caerá con $95\%$ de probabilidad.

Por lo tanto:

Desde $P ( X ≤ 1 . 645) = 0 . 95, ( -∞ , 1 . 645)$ $95\%$ intervalo de confianza para $X$

La pregunta que tengo problema para entender es:

Entre todos los posibles intervalos en que $X$ cae con $95\%$ de probabilidad, encontrar el más corto.

¿Cómo puedo calcular o determinar cual es el intervalo más corto?

Gracias!

Answer 1

Debido a que la curva normal tiene forma de campana, hay más área bajo cerca de la media. Parece que estamos tratando con una distribución normal estándar, entonces usted quiere resolver para poco $x$ $$\begin{align*} .95 &= P(X\leq -x) -P(X\leq x) \\ &=(1-P(X\leq x))-P(X\leq x)\tag{1}\\ &=1-2P(X\leq x)\\ &=1-2\Phi(x) \end{align*}$$ donde en $(1)$ I reconocer la simetría.

Esto le da $$\Phi(x)=\frac{1-.95}{2}\implies x = \Phi^{-1}\left(0.025\right) = -1.959964$$ El intervalo es $(-1.959964,1.959964)$.