¿Cómo integrar $ \int x^n e^x dx$?

Question

¿Cómo puedo resolver esta integral indefinida para un entero arbitrario $n>0$?

$$ \int{x^n e^x dx}$$

Parcialmente pude integrarlo con un % pequeño $n$, pero eso no es realmente una solución.

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Edición: (TB) Esta pregunta está estrechamente relacionada con: es una solución de forma cerrada para $\int x^n e^{cx}$?, pero es más elemental, porque $n$ es un entero aquí.

Answer 1

Mira este enlace http://fatosmatematicos.blogspot.com/2011/06/integral-do-produto-da-exponencial-pela.html

Answer 2

Sugerencia: Use integración por partes.

EDIT: Probar varios valores de $n$. $$ \int {x e^x dx} = (x - 1)e^x + C $$ $$ \int {x^2 e^x dx} = (x^2 - 2x + 2)e^x + C. $$ $$ \int {x^3 e^x dx} = (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C. $$ $$ \int {x^4 e^x dx} = (x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 24)e^x + C. $$ $$ \int {x^5 e^x dx} = (x^5 - 5x^4 + 20x^3 - 60x^2 + 120x - 120)e^x + C. $$ A la conclusión de que $$ \int {x^n e^x dx} = \bigg[\sum\limits_{k = 0}^n {( - 1)^{n - k} \frac{{n!}}{{k!}}x^k } \bigg]e^x + C. $$

Answer 3

Usted podría utilizar la generación de la función de enfoque.
$$ \eqalign{\int_0^X e^{tx} e^x \ dx &= \frac{e^{(1+t)X} - 1}{1+t}\cr &= \sum_{k=0}^\infty (-1)^k t^k \a la izquierda(e^X -1 + \sum_{j=1}^\infty e^X \,\frac{X^j}{j!} t^j\right)\cr &= \sum_{n=1}^\infty \left((-1)^n (e^X - 1) + \sum_{j=1}^n (-1)^{n-j} \frac{X^j}{j!} e^X \right) t^n\cr}$$ Pero también $$ \int_0^X e^{tx} e^x \, dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} \int_0^X x^n e^x \, dx$$ Igualando los coeficientes de $t^n$ desde ambos lados, $$ \int_0^X^n e^x\, dx = (-1)^n n! (e^X - 1) + \sum_{j=1}^n (-1)^{n-j} \frac{n!}{j!} X^j e^X $$

Answer 4

Me resulta un poco difícil para mí adivinar la solución probando varios $n$. Me gustaría hacerlo como sigue:

$$\begin{align}\int x^ne^xdx&=x^ne^x+(-1)n\int x^{n-1}e^xdx,\qquad n\geq 1\\ \int x^0e^xdx&=e^x\end {Alinee el} $$

Entonces obtendrá a la relación de recurrencia:

$$\begin{align}a_n(x)&=x^ne^x+(-1)na_{n-1}(x),\qquad n\geq 1\\ a_0(x)&=e^x\end {Alinee el} $$

Con la fórmula recursiva, puede ser más fácil encontrar el patrón del resultado.