Quizás lo he entendido todo al revés, pero creo que estas preguntas se responden mejor en el orden inverso al que las has planteado.
- ¿Cómo puedo demostrar que $R$ ¿es (no) un UFD?
Primas dadas $p$ y $q$ , si $\mathbb{Z}[\sqrt{pq}]$ es un dominio de factorización único, entonces tanto $p$ y $q$ dividido en este ámbito. Eso es lo que ocurre con 2 y 3 en $\mathbb{Z}[\sqrt{6}]$ por ejemplo. Si $p = (a - b \sqrt{pq})(a + b \sqrt{pq})$ , $q = (c - d \sqrt{pq})(c + d \sqrt{pq})$ y $(a + b \sqrt{pq})(c + d \sqrt{pq}) = \sqrt{pq}$ entonces $pq = (\sqrt{pq})^2$ representa dos factorizaciones incompletas.
Pero 3 es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{15}]$ ya que no hay solución para $x^2 \equiv \pm 3 \pmod 5$ . Sólo hace falta un poco más de esfuerzo para demostrar que 5 es igualmente irreducible. Entonces $15 = 3 \times 5 = (\sqrt{15})$ constituye la presentación de dos factorizaciones completas distintas, y por tanto $\mathbb{Z}[\sqrt{15}]$ no es un dominio de factorización único.
- ¿Cómo puedo demostrar que $(3, \sqrt{15})^2$ ¿es un ideal principal?
Ya ha determinado que $\langle 3, \sqrt{15} \rangle^2 = \langle 9, 3 \sqrt{15}, 15 \rangle$ . Dos elementos son suficientes para generar un ideal, lo que significa que uno de estos tres elementos es algo redundante. Como 9 y 15 son ambos enteros de $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}$ es un dominio euclidiano, podemos hervir $\langle 9, 15 \rangle$ a $\langle 3 \rangle$ , dejándonos con $\langle 3, 3 \sqrt{15} \rangle$ . Pero como $\langle 3 \rangle$ absorbe la multiplicación de 3 por $\sqrt{15}$ entonces $\langle 3 \sqrt{15} \rangle$ resulta ser totalmente redundante.
Enhorabuena, has calculado el ideal principal $\langle 3 \rangle$ como el cuadrado del ideal $\langle 3, \sqrt{15} \rangle$ . El número 3 es irreducible, pero el ideal $\langle 3 \rangle$ es "compuesto". Lo que nos lleva a su primera pregunta:
- ¿Cómo puedo demostrar que $(3, \sqrt{15})$ es un ideal máximo pero no un ideal principal?
Si $\langle 3, \sqrt{15} \rangle$ no era maximal, podía estar contenida propiamente en un ideal maximal o podía ser toda $\mathbb{Z}[\sqrt{15}]$ . Esto último es bastante fácil de refutar: demuestre que $1 \not\in \langle 3, \sqrt{15} \rangle$ . Lo primero lleva más trabajo, aunque probablemente haya algún atajo que desconozco.
Si se diera el caso de que $\langle 3, \sqrt{15} \rangle$ está contenida adecuadamente en un ideal diferente, ese ideal tendría que contener adecuadamente $\langle 3 \rangle$ y $\langle \sqrt{15} \rangle$ sin ser realmente $\langle 3, \sqrt{15} \rangle$ . El único ideal que satisface este criterio es el anillo completo.
Así que $\langle 3, \sqrt{15} \rangle$ es un ideal máximo. Si fuera un ideal principal, podríamos encontrar un único número $a \in \mathbb{Z}[\sqrt{15}]$ tal que $\langle a \rangle = \langle 3, \sqrt{15} \rangle$ . Este $\langle a \rangle$ debe ser tal que contenga números con normas divisibles por 9 y números con normas divisibles por 15. Lo que significaría que $a$ tiene una norma de 3 y por lo tanto 3 divisiones en este anillo. Pero ya vimos que el número 3 es de hecho irreducible.
