Mostrando que la proyección ortogonal en un espacio de Hilbert es compacta si el subespacio es de dimensión finita

Question

Supongamos que tenemos un Espacio de Hilbert $H$ $M$ es un subespacio cerrado de $H$. Deje $T\colon H\rightarrow M$ ser la proyección ortogonal en $M$.

Tengo que demostrar que $T$ es compacto iff $M$ es finito dimensionales.

Entonces, si asumimos que el $M$ es finito dimensionales, a continuación, $\overline{T(B(0,1))}$ es cerrado, acotado establece en un número finito de dim vector normativa de espacio y por lo que es compacto. Que le da ese $T$ es compacto.

Pero estoy seguro de cómo probar que si $T$ es compacto, a continuación, $M$ es finito dimensionales?

Gracias por la ayuda

Answer 1

Si$M$ es de dimensión infinita, entonces existe$\{e_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subset M$, que es un conjunto ortonormal. Evidentemente$\{e_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subset \overline{T(B(0,1))}$, pero$\{e_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ no tiene subsecuencia convergente, lo que contradice la compacidad de$T$.

Answer 2

Suponga $T$ compacto. Como $T(M\cap B(0,1))=M\cap B(0,1)$, $M\cap B(0,1)$ tiene un pacto de cierre. Concluye, por el teorema de Riesz (que es más fácil de demostrar en el contexto de los espacios de Hilbert).

Answer 3

Mi primer intento habría sido lo que la respuesta de Davide y Richard. Pero he aquí otro enfoque.

Desde $T$ es una proyección ortogonal, es positivo operador. La ecuación de $T^2=T$ garantiza que todos los autovalores son o $1$ o $0$. Como $T$ es compacto, la multiplicidad de $1$ como un autovalor es finito, debido a que $0$ es la única posible acumulación punto en el espectro de un operador compacto). Por lo $\dim\, M=\text{Tr}\,(T)<\infty$.

(dependiendo del contexto, la última desigualdad puede no ser evidente. Entonces podríamos decir que el $T$ es una suma finita de rango-una de las proyecciones, es decir, de un determinado rango de proyección. Por lo $M$, siendo el rango de un número finito de rango de proyección, es finito-dimensional)