¿Cómo resolver ecuaciones con exponentes multiplicados con un polinomio?

Question

No sé cómo abordar la ecuación con exponentes multiplicados con un polinomio en general.

Por ejemplo:

$100 =2^x(1+x)$

Actualmente, ignoro la parte polinomial ya que crece mucho más lento. Resuelvo para $100=2^x$ y permito que el algoritmo pruebe números alrededor del rango.

Answer 1

Puede resolver esto con la función W de Lambert: Escribir la ecuación como $$100 = 2^x(1+x)=\frac{1}{2}2^{1+x}(1+x),$$ con $y=1+x$ consigue $$200 = y2^y=y e^{y\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} (y \ln 2) e^{y \ln 2} .$$ Ahora sustituye $z=y \ln 2$ y el uso de la definición de $W$ a resolver para $z$ $De$200 \ln 2 = z e^z \quad \Rightarrow z = W(200\ln 2) \quad \Rightarrow y = \frac{W(200\ln 2)}{\ln2}$$ Así que, finalmente,

$$x = \frac{W(200\ln 2)}{\ln2} -1 \approx 4.2512070962222326$$

Como alternativa, también puede utilizar un simple esquema de iteración a partir de la ecuación $$x_{n+1} = \ln \left(\frac{100}{1+x_n}\right) / \ln 2$$ Con su valor inicial $x_0=\log_2(100) \approx 6.6439$ se obtiene la siguiente iteración $3.7094, 4.4083, 4.2086, 4.2630, \dots$

Answer 2

Como regla general, la ecuación que la mezcla de funciones trascendentes y polinomios no tienen forma cerrada de soluciones y deberá recurrir a métodos numéricos para la resolución de las ecuaciones (tales como el de Newton).

En este caso particular, se puede reducir a la forma

$$ze^z=c,$$ que fue estudiado por Lambert. Él se define una función especial, que precisamente da la solución de esta ecuación.