Para probar

Question

Probar$$\prod_{n=1}^\infty\cos\frac{x}{2^n}=\frac{\sin x}{x},x\neq0$ $

Esta ecuación puede ser famosa, pero no tengo idea de cómo empezar. Supongo que está relacionado con otra ecuación:

(Euler) ¿Y cómo puedo probar la ecuación$follwing$? $$\sin x=x(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{2^2\pi^2})\cdots=x\prod_{n=1}^\infty (1-\frac{n^2}{2^2\pi^2})$ $ No puedo encontrar la relación de los dos. Tal vez estoy atrapado de una manera incorrecta, gracias por su ayuda.

Answer 1

En esta respuesta, se muestra que el uso de la inducción y la identidad $$ \cos(x2^{-k})=\frac{\sin(x2^{1-k})}{2\sin(x2^{-k})}\etiqueta{1} $$ tenemos $$ \prod_{k=1}^\infty\cos(x2^{-k})=\frac{\sin(x)}x\etiqueta{2} $$

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En esta respuesta, se muestra que $$ \frac1x+\sum_{k=1}^\infty\frac{2x}{x^2-k^2}=\pi\cuna(\pi x)\etiqueta{3} $$ La integración de $(3)$ da $$ \log(\pi x)+\sum_{k=1}^\infty\log\left(1-\frac{x^2}{k^2}\right)=\log(\sin(\pi x))\etiqueta{4} $$ Sustituyendo $x\mapsto x/\pi$, y exponentiating rendimientos $$ x\prod_{k=1}^\infty\left(1-\frac{x^2}{k^2\pi^2}\right)=\sin(x)\etiqueta{5} $$

Answer 2

Por la fórmula de doble ángulo tenemos$$\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=4\sin\left(\frac{x}{4}\right)\cos\left(\frac{x}{4}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)=\dots=2^{n}\sin\left(\frac{x}{2^{n}}\right)\prod_{k\leq n}\cos\left(\frac{x}{2^{k}}\right)$$ now remains to note that $$\lim_{n\rightarrow\infty}2^{n}\sin\left(\frac{x}{2^{n}}\right)=x.$ $