¿Función beta no nula a nivel clásico?

Question

En la obra de Jaume Gomis conferencia 5 sobre CFT en el Instituto Perimeter, dice (en el minuto 27:40) que la función beta, clásicamente de la $m^2$ parámetro en masivo $\lambda \phi^4$ la teoría es

$$\beta(m^2) = -2m^2\,.$$

El razonamiento intuitivo que da es que como la dimensión de $m^2$ es 2, entonces la función beta debe ser -2 veces m-cuadrado.

Siempre he pensado que las funciones beta para los parámetros de la lagrangiana sólo empiezan en un bucle y son clásicamente cero. Cuál es la definición rigurosa de una función beta (incluyendo la parte clásica)?

Answer 1

La teoría no es invariante de escala (ni siquiera de forma clásica). Sólo por análisis dimensional, se puede notar que el campo escalar tiene dimensión de escala 1, y la masa (como su nombre indica) también debe tener una dimensión de escala de 1. Así que $m^2$ tiene una dimensión de ascenso de 2, lo que sugiere la ecuación RG que has escrito en la pregunta. Eso dice esencialmente que el $m^2$ disminuye exponencialmente, pero con dimensión de escala 2 a medida que se va a la UV.

Sólo cuando se tienen acoplamientos que son clásicamente adimensionales, las ecuaciones RG no tienen contribuciones a nivel de árbol. por ejemplo: coeficientes de operadores de dimensión 4: como $\lambda$ en $\lambda \phi^4$ o $g$ en $g \phi \bar{\psi} \psi $

Información: el nivel de árbol equivale a clásico la teoría de campos y las contribuciones del bucle son como correcciones cuánticas. Se puede ver que al restaurar las potencias de $\hbar$ en la integral de la trayectoria.