¿Grupo dicíclico como subgrupo de $S_6$?

Question

Tengo el grupo dicíclico $G$ de orden 12 generado por $x,y$ que satisfacen $x^4 = y^3 = 1$ y $xyx^{-1} = y^2$, y estoy tratando de determinar si el grupo simétrico $S_6$ contiene un subgrupo isomorfo a él.

Hasta ahora he intentado buscar un conjunto apropiado de 6 elementos para que $G$ actúe sobre ellos, y esperando que la representación por permutaciones $ \phi: G \to S_6$ sea inyectiva, pero no he tenido suerte: $ \phi$ no es inyectiva para la acción de $G$ conjugando su conjunto de 6 elementos de orden 4, ni es inyectiva para la acción de $G$ trasladando su conjunto de 6 coclases de un subgrupo de orden 2.

¿Es cierto que $S_6$ contiene un subgrupo isomorfo a $G$ y, en caso afirmativo, cómo construiría el isomorfismo?

Answer 1

Si $y$ es de orden $3$, debe tener tipo de ciclo $(abc)$ o $(abc)(def)$. Si $x$ es de orden $4$, debe tener tipo de ciclo $(abcd)$ o $(abcd)(ef) . Además, sabes cómo $x$ actúa sobre $y$ por conjugación...