Encontrar la MLE para $P[X > x]$ con $x>0$ ¿dado para la distribución exponencial?

Question

El problema: Dejemos que $X_1, \ldots, X_n$ sea una muestra aleatoria de una distribución exponencial con parámetro $\theta$ . Encuentre una MLE para $P[X > x]$ con $x>0$ dado (fijo).

Mi intento: Primero calculé: $$ P[X > x] = \int_x^{\infty} \theta e^{-\theta y} dy = e^{-\theta x}. $$ También sé que $$ L(\theta; \vec{x}) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \theta^n \exp \left(- \theta \sum_{i=1}^n x_i \right).$$ Entonces $$ \ln L(\theta; \vec{x}) = n \ln(\theta) - \theta \sum_{i=1}^n x_i. $$ ¿Cómo proceder ahora? Normalmente, cuando buscamos la MLE de un parámetro $\theta$ diferenciamos con respecto a ese parámetro. Pero ahora me piden que encuentre el MLE para una probabilidad. ¿Simplemente diferencio con respecto a $e^{-\theta x}$ ?

Se agradece la ayuda.

Answer 1

Para cualquier función (medible) $g(\theta)$ , $\hat{g}_n = g(\hat{\theta})$ Esto se llama la propiedad de invariancia del estimador MLE. Por lo tanto, en su caso $$ \hat{p}_n = e^{-\hat{\theta}_n x}. $$

Dónde $\hat{\theta}_n = \frac{1}{\bar{X}_n}$ es la MLE de $\theta$ .