Pregunta. Supongamos que $u_1, u_2\in C^2(\mathbb R^{d+1})$ son de valor real, satisfacer $\partial_t^2 u = \Delta u$, y $$|u_1(t, x)|=|u_2(t, x)|, \qquad \forall (t, x)\in \mathbb R^{d+1}.$$ De lo anterior se sigue que cualquiera de las $u_1=u_2$ o $u_1=-u_2$?
Esta propiedad tiene para real-funciones analíticas. De hecho, cualquiera de las $u_1=u_2=0$ de forma idéntica (caso trivial) o $z_0=(t_0, x_0)$ tal que $u_1(z_0)\ne 0$. Ahora, si $u_1(z_0)=u_2(z_0)$, entonces, por la continuidad, $u_1=u_2$ en un barrio de $z_0$, y por lo que coinciden en todas partes, porque son analíticas. De lo contrario, por el mismo argumento, $u_1=-u_2$.
Sin embargo, las soluciones a la ecuación de onda no necesita ser real-analítica. En cambio, satisfagan la velocidad finita de propagación; si $u_1= u_2$ o $u_1=-u_2$ sobre el cilindro $\{(t, x)\ |\ |t-t_0|<a, |x-x_0|<a\}$, entonces el mismo es cierto en el cono $$ \{|t-t_0|<2a, |x-x_0|<2a-|t-t_0|\}.$$ Esto implica que la propiedad vale si el ajuste a cero de la $Z=\{u_1=u_2=0\}$ es un espacio-como la hipersuperficie. De hecho, por supuesto, debe ser $u_1=u_2$ o $u_1=-u_2$ a cada lado de la $Z$, pero hay conos que cruzan $Z$, por lo que debe ser $u_1=u_2$ o $u_1=-u_2$ todas partes; ver la imagen. Sin embargo, este argumento no puede aplicarse si $Z$ es por tiempo igual o luz-como la hipersuperficie.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La respuesta parece ser negativa. Las funciones $$ u_1(t, x)=(t-x)^3, \qquad u_2(t, x)=|t-x|^3$$ satisfacer la ecuación de onda $\partial_t^2 u=\partial_x^2$ a $\mathbb R^{1+1}$, pertenecen a $C^2(\mathbb R^{1+1})$, satisfacer $|u_1(t, x)|=|u_2(t, x)|$ en todos los $(t, x)\in \mathbb R^{1+1}$. Sin embargo, no es cierto que $u_1=u_2$ o $u_1=-u_2$.
Observaciones. La función de $u_2$ no es real-analítico, y el cero de $u_1$ e $u_2$ es luz. Se espera que; ver el OP.
Más ejemplos pueden ser generados por tomar $u_1=f(x-t)$ e $u_2=|f(x-t)|$ adecuados para las funciones de $f\colon \mathbb R\to \mathbb R$; el único requisito en $f$ es que es extraño y que se desvanece en $0$ , con la suficiente rapidez, por lo que $|f|$ es diferenciable. De esta manera, podemos producir ejemplos en $C^\infty$ con datos iniciales de tamaño compacto.
