¿Todo inverso a la derecha de una transformación lineal debe ser una transformación lineal?

Question

Sea T una transformación lineal $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ . Sea S la inversa derecha de T. ¿Tiene que ser S una transformación lineal?

Gracias por adelantado.

Answer 1

En realidad, si la asignación de $S:\Bbb R^3\to\Bbb R^2$ satisface $T(S(v))=v$ para todos los $v\in\Bbb R^3$, lo que implicaría $T$ es surjective, lo cual es imposible si $T$ es lineal, mediante la consideración de las dimensiones.

Sin embargo, si $T$ es inyectiva, se ha dejado a la recíproca, y también puede tener no lineal de izquierda inversas, por ejemplo, si $T(a, b) =(a, b, 0)$ y $$S(a,b,c):=(a+c^2, b+c^2)$$

Answer 2

No

(En realidad, una lineal mapa de $\mathbb R^2 \to \mathbb R^3$ no tiene derecho inversa, ya que tener un derecho inversa es equivalente a ser surjective, lineal y mapas tienen la dimensión de la distancia a la que la mayoría de la dimensión del dominio, por lo que no hay surjective lineal mapas de $\mathbb R^2 \to \mathbb R^3$)

PERO DE TODOS MODOS. . . .

Considerar el mapa de proyección $P: \mathbb R^2 \to \mathbb R$ dado por $P(x,y) = x$. Deje $f : \mathbb R \to \mathbb R$ ser su favorito de la función no lineal y definir el derecho inverso $Q: \mathbb R \to \mathbb R^2$ por $Q(x) = (x,f(x))$.

Luego tenemos a $P\circ Q(x) = P(Q(x))=P(x,f(x))= x$ así que esto es de hecho un derecho inversa.

A ver $Q$ es no lineal observar la imagen es la gráfica de la función $f$ que no es un subespacio lineal de $\mathbb R^2$. Eso significa que $Q$ es no lineal.

Answer 3

Por definición, si $S$ es un derecho-inversa de a$T,$ entonces $S:\Bbb R^3\to\Bbb R^2$ tiene la propiedad de que para todos los $\vec v\in\Bbb R^2,$ tenemos $(T\circ S)(\vec v)=\vec v.$ sin Embargo, según el Rango de Nulidad, no es un vector $\vec u\in\Bbb R^3$ con $\vec u\neq\vec 0_3,$ tal que $S(\vec u)=\vec 0_2,$ , de modo que desde $T$ es una transformación lineal, tendríamos $\vec u=(T\circ S)(\vec u)=T\bigl(S(\vec u)\bigr)=T(\vec 0_2)=\vec 0_3\neq\vec u.$ Lo, $T$ no tiene derecho inversa.

Por otro lado, $T$ le han dejado-inversos (infinitamente muchos de ellos, de hecho) tan larga como su espacio nulo contiene sólo $\vec{0}_2,$ y exactamente de la izquierda-inversos (el envío de todos los elementos fuera de la gama de $T$ a $\vec{0}_2$) es una transformación lineal.

Answer 4

Si $T:X\to Y$ es inyectiva pero no surjective, considere la posibilidad de una izquierda inverso $S$, es decir, un mapa de $Y\to X$ tales que $$S(T(x)) = x\text{ for all }x\in X.$$ Note that this equation only says something about how $S$ acts on the range (image) of $T$. For the points of $S$ that are outside the range of $T$, we are free to prescribe absolutely any behavior for $S$.

Del mismo modo, si $T:X\to Y$ es lugar surjective pero no inyectiva, consideramos un derecho inverso $S$, $$T(S(y)) = y\text{ for all }y\in Y.$$ This means that for a $y\Y$, the map $S$ just picks one of the inverse images of $s$ under $T$. Every time we have a $s$ that is "hit" by more than one $x$ under $T$, we have the freedom to choose any of them as our value $S(y)$.

Lo anterior es cierto en general (en la categoría arbitraria de conjuntos y mapas). Si consideramos el caso donde $X$ e $Y$ son espacios vectoriales (o más concretamente $X=\mathbb{R}^n$ e $Y=\mathbb{R}^m$), y donde $T$ es lineal en el mapa, está claro (creo; a la izquierda para el lector) que nuestra libertad para mezclarse con los $S$ preocupaciones completo subespacios (o de los complementos de subespacios) y podemos elegir de un completo "salvaje" comportamiento de la $S$. En particular, podemos asegurar que $S$ es no lineal en el mapa.