Usos del teorema de reciprocidad cuadrática

Question

Quiero motivar el teorema de reciprocidad cuadrática, que a primera vista no parece demasiado importante para justificar que sea uno de los favoritos de Gauss. Hasta ahora se me ocurren dos usos lo suficientemente básicos como para mostrarlos inmediatamente al presentar el teorema:

1) Con la QRT, es inmediato dar un algoritmo simple y eficiente (que se puede hacer incluso a mano) para calcular los símbolos de Legendre.

2) En la prueba de Euler de la afirmación de Fermat sobre las condiciones en las que un primo $p$ es de la forma $x^2+ny^2$ (para ciertos valores pequeños de $n$ ) la prueba se reduce a encontrar las condiciones bajo las cuales $p$ divide $x^2+ny^2$ para algunos $x,y$ Por lo tanto, a la pregunta de bajo qué condiciones es $-n$ un residuo cuadrático módulo $p$ que conduce inmediatamente al QTR (por ejemplo, para $n=3$ donde obtenemos que $p\equiv_3 1$ ). Me gusta mucho este ejemplo, ya que comienza con un problema "histórico" y procede a "descubrir" el QTR a través de casos especiales (que es lo que hizo Euler en la práctica - véase el libro de Cox sobre "Primas de la forma $x^2+ny^2$ ").

Sin embargo, estoy seguro de que hay muchos más ejemplos (y tengo especial curiosidad por saber cómo llegó Gauss al teorema). Me encantaría conocerlos y recibir referencias para seguir leyendo.

Answer 1

Esta es una buena pregunta.

Mi propia opinión sobre la motivación de la reciprocidad cuadrática se registra aquí (son apuntes de un curso de introducción a la teoría de los números). Si miras allí, verás que la mayor parte de lo que he dicho es una elaboración de los dos puntos que planteas. Creo que una forma nítida de explicar lo que hace QR para usted es en la idea de los problemas "directo" e "inverso" adjuntos al símbolo de Legendre $(\frac{n}{p})$ .

En concreto, para el problema directo arreglamos $p$ y preguntar qué enteros $n$ son cuadrados módulo $p$ . Se trata claramente de un problema finito. Por otro lado, está el problema inverso : fijamos un número entero $n$ y preguntar por qué primos $p$ tenemos que $n$ es un cuadrado módulo $p$ . Esto es, a priori un problema infinito. Sin embargo, es uno de gran relevancia para la teoría clásica de los números: por ejemplo, todas las numerosas pruebas que he visto del teorema de los dos cuadrados de Fermat pasan por el hecho de que $-1$ es un cuadrado módulo de un primo impar $p$ si $p \equiv 1 \pmod 4$ . De forma más general, si se observa la ecuación diofantina $x^2 - n y^2 = p$ , para $n$ un número entero no nulo y $p$ un primo con $\operatorname{gcd}(p,n) = 1$ y reduciendo a continuación el módulo $p$ da la condición necesaria $(\frac{n}{p}) = 1$ . La reciprocidad cuadrática al rescate.

En segundo lugar, como también dices, la reciprocidad cuadrática da un algoritmo eficiente para responder si un determinado $n$ es un cuadrado módulo $p$ mucho más rápido que computar todo $\frac{p-1}{2}$ cuadrados modulo $p$ .

En mi experiencia, esto es más que suficiente para que los estudiantes aprecien la utilidad de la teoría de Gauss aureum theorema .

Answer 2

La reciprocidad cuadrática permite precisar ciertas intuiciones sobre los primos. Más concretamente, te dice que para todo conjunto finito $p_1, p_2, ... p_n$ de los primos y toda función $f : \{ 1, 2, ... n \} \to \{ -1, 1 \}$ existe una progresión aritmética tal que cualquier primo $q$ en esa progresión satisface $\left( \frac{p_i}{q} \right) = f(i)$ . En otras palabras, puedes conseguir que los primos se comporten localmente de forma independiente (con respecto a ser o no un residuo cuadrático). Puedes usar esta idea para dar una prueba de que, por ejemplo, $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, ... \sqrt{p_n})$ tiene el grado sobre $\mathbb{Q}$ que usted cree que hace; esto se describe aquí .

Answer 3

Supongo que esto podría ser una respuesta separada. Se puede utilizar la reciprocidad cuadrática para dar pruebas elementales de ciertos casos especiales de Teorema de Dirichlet . En primer lugar, debes conocer el siguiente resultado agradable y su prueba "euclidiana".

Lema: Dejemos que $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ y que $P_f$ sea el conjunto de primos $p$ tal que $p | f(n)$ para algunos $n$ . Entonces $P_f$ es infinito.

Prueba. Si $f(0) = 0$ entonces esto es obvio, así que supongamos lo contrario. Sea $p_1, p_2, ... p_n$ sea un conjunto finito de primos en $P_f$ . Entonces, para cualquier $k$ , $\frac{1}{f(0)} f(k f(0) p_1 ... p_n)$ debe ser divisible por un primo que no sea uno de los $p_i$ y eligiendo $k$ suficientemente grande podemos encontrar un nuevo primo $p_{n+1}$ en $P_f$ .

Se ofrece una prueba alternativa aquí . Utilizando este lema y las propiedades de la polinomios ciclotómicos se puede demostrar que existen infinitos primos congruentes con $1 \bmod n$ para cualquier $n$ sin maquinaria pesada, así que me saltaré estos casos.

Utilizando la reciprocidad cuadrática, puedes demostrar que las siguientes progresiones aritméticas también contienen infinitos primos:

• $11 \bmod 12$ : Dejemos que $f(x) = 3x^2 - 1$ . Entonces $p | f(n)$ implica $\left( \frac{3}{p} \right) = 1$ . Sin embargo, podemos modificar la prueba del lema para demostrar que infinitamente muchos de los primos que dividen $f$ debe ser congruente con $3 \bmod 4$ . Para ver esto, dejemos $p_1, .. p_n$ sean finitamente muchos primos con esta propiedad y consideremos $f(2 p_1 ... p_n) \equiv 3 \bmod 4$ . Se deduce que infinitos primos $p$ satisfacer $\left( \frac{3}{p} \right) = 1$ y $p \equiv 3 \bmod 4$ por lo que por reciprocidad cuadrática $\left( \frac{p}{3} \right) = -1$ Así que $p \equiv 2 \bmod 3$ . Por lo tanto, $p \equiv 11 \bmod 12$ . En particular, hay infinitos primos congruentes con $2 \bmod 3$ e infinitos primos congruentes con $3 \bmod 4$ .

• $4 \bmod 5$ : Dejemos que $f(x) = x^2 - 5$ . Entonces $p | f(n)$ implica $\left( \frac{5}{p} \right) = 1$ . De nuevo, podemos modificar la prueba del lema para demostrar que infinitos de estos primos no son congruentes con $1 \bmod 5$ . Para ver esto, dejemos $p_1, ... p_n$ ser finitamente muchos primos con esta propiedad, ninguno de los cuales es igual a $5$ y considere la posibilidad de $f(p_1 ... p_n)$ o $f(2 p_1 ... p_n)$ uno de los cuales no es congruente con $1 \bmod 5$ y que por lo tanto tiene un factor primo que no es congruente con $1 \bmod 5$ . Así que infinitos primos $p$ satisfacer $\left( \frac{5}{p} \right) = 1$ y $p \not \equiv 1 \bmod 5$ . Por reciprocidad cuadrática esto da $\left( \frac{p}{5} \right) = 1$ Por lo tanto $p \equiv 4 \bmod 5$ .

• $3 \bmod 8$ : Dejemos que $f(x) = x^2 + 2$ . Entonces $p | f(n)$ implica $\left( \frac{-2}{p} \right) = 1$ . De nuevo, podemos modificar la prueba del lema para demostrar que infinitos de estos primos no son congruentes con $1 \bmod 8$ . Para ver esto, dejemos $p_1, ... p_n$ sean finitamente muchos primos con esta propiedad, todos los cuales son Impares, y considere $f(2p_1 ... p_n) \equiv 6 \bmod 8$ . Así que infinitos primos $p$ satisfacer $\left( \frac{-2}{p} \right) = 1$ y $p \not \equiv 1 \bmod 8$ . Por reciprocidad cuadrática esto da $p \equiv 3 \bmod 8$ .

Y así sucesivamente. ¿Para qué progresiones es posible dar este tipo de pruebas? Resulta que esto es posible para la progresión $a \bmod n$ si y sólo si $a^2 \equiv 1 \bmod n$ . Para más detalles, véase el artículo de Keith Conrad Pruebas euclidianas del teorema de Dirichlet .

De forma más general, la reciprocidad cuadrática es la clave para escribir el Funciones zeta de Dedekind de los campos numéricos cuadráticos explícitamente, y tratar de generalizar esto te lleva a la teoría de los campos de clase y así sucesivamente.

Answer 4

La ley de reciprocidad cuadrática en cualquiera de sus formas muestra que existe una correlación no evidente entre diferentes primos. El $(p,q)$ limita el símbolo $(q,p)$ símbolo. Esto es sorprendente en comparación con otros teoremas más "lineales" sobre congruencias o factorización única. En sus reformulaciones del siglo XX, la reciprocidad cuadrática se ve como un avatar de otras leyes de reciprocidad en geometría (reciprocidad para símbolos mansos) e incluso en topología geométrica (números de enlace en los que los nudos desempeñan el papel de primos) y aunque estos otros teoremas son en cierto modo más fáciles de demostrar, las analogías entre todos ellos son misteriosas.

Básicamente, si no te sorprende este teorema, es que no lo entiendes del todo. Históricamente fue un resultado ganado con esfuerzo y premio y no un descubrimiento universal inevitable como la fórmula pitagórica u otros teoremas que fueron difíciles en su época pero que se encontraron independientemente en muchas épocas y lugares. Muchas culturas conocían los hechos básicos de la teoría de los números, pero la reciprocidad cuadrática es uno de los primeros signos de la teoría de los números como ciencia.

Answer 5

Davenport, en "La aritmética superior", sección III.5, afirma que la ley de la reciprocidad cuadrática, en su forma original, tal como la conjeturó Euler, era la siguiente afirmación:

Dejemos que $a$ sea cualquier número natural y $p,q$ cualquier primo tal que $p\equiv q$ mod $4a$ o $p\equiv -q$ mod $4a$ . Entonces $a$ es un cuadrado mod $p$ si y sólo si $a$ es un cuadrado mod $q$ .

Davenport demuestra que la fórmula de reciprocidad cuadrática habitual para los primos Impares es equivalente a esta afirmación.

Esto sugiere lo que para mí es la más impresionante de todas las aplicaciones de la reciprocidad cuadrática: que los divisores primos de los valores de los polinomios cuadráticos caen en clases de residuos. Inmediatamente se especula con que, en general, los divisores primos de los valores de los polinomios tienen una estructura inteligible que está relacionada de algún modo con las clases de residuos. Esto es realmente sorprendente, dado que los polinomios combinan la suma y la multiplicación de forma arbitraria.

Como sabemos, para seguir esta idea fue necesario generalizar la idea de "clase de residuo" a los anillos de enteros algebraicos, dando lugar a una gran parte de la teoría numérica moderna en el camino.

Quizá para entender la importancia de la reciprocidad cuadrática, lo principal no sea acumular un catálogo de aplicaciones específicas, sino ver la reciprocidad cuadrática como una puerta histórica a la moderna Teoría de Números.