Encuentra un polinomio irreducible en$\mathbf{F}_5$ de grado 30.

Question

Encuentra un polinomio irreducible en $\mathbf{F}_5$ de grado 30.

No tengo idea de por dónde empezar, estaba pensando en usar un polinomio ciclotómico, pero no lo sé.

Answer 1

Bien, $p(x)=x^5-x+1$ es un polinomio con grado de $5$ que es irreducible sobre $\mathbb{F}_5$ (Artin-Schreier).
Que "sólo" necesita multiplicar su grado por $6$. Desde $7$ no es un divisor de a$\left|\mathbb{F}_{5^5}^*\right|=5^5-1$, $q(x)=p(x^7)$ factores $\mathbb{F}_5$ como el producto entre un quinto grado del polinomio y... un polinomio irreducible con grado de $30$, como quería.