Buscar el valor mínimo de Para .

Question

Dado:

$x+y=2\sin{a}-\cos{b}\\ xy=2\cos{a}+\sin{b}$

Encontrar el mínimo valor de $x^2+y^2$.

Intento:

$\begin{aligned} x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy\\ &=(2\sin{a}-\cos{b})^2-2(2\cos{a}+\sin{b})\\ &=4\sin^2{a}-4\sin{a}\cos{b}+\cos^2{b}-4\cos{a}-2\sin{b} \end{aligned}$

$\begin{aligned} f_{a}(a,b)&=0\\ 8\sin{a}\cos{a}-4\cos{a}\cos{b}+4\sin{a}&=0\\ \cos{a}\cos{b}&=2\sin{a}\sin{b}+\sin{a}\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} f_{b}(a,b)&=0\\ 4\sin{a}\sin{b}-2\sin{b}\cos{b}-2\cos{b}&=0\\ 2\sin{a}\sin{b}&=\sin{b}\cos{b}+\cos{b}\\ \end{aligned}$

Intentado trazar en un gráfico, la respuesta debe ser -6.

Answer 1

Doy aquí una solución geométrica utilizando el auxiliar del plano con coordenadas $(X;Y)$ donde

$$X=x+y \ \ \text{and} \ \ Y=xy$$

(ver figura a continuación).

Importante : En este plano, debido a aritmético-geométrico significa desigualdad, la única región definida por $Y\leq \tfrac14X^2$ corresponde a las reales soluciones. Volveremos a esta restricción más tarde.

El uso de las variables de $X,Y$, el problema puede ser re-formulado de esta manera :

Minimizar

$$m:=x^2+y^2=X^2-2Y \tag{1}$$

sabiendo que

$$\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}\sin(a)\\ \cos(a)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\cos(b)\\ \ \ \ \sin(b)\end{pmatrix}\tag{2}$$

El lado derecho de (2) se puede dar una interpretación geométrica como la combinación de dos movimientos circulares : un planeta con radio orbital $2$ y su satélite con radio orbital $1$, produciendo un "permitido" anular la región de $(A)$ con internos/externos radios $1$ e $3$ resp. (o de una forma equivalente como el de la zona barrida por la herramienta de los dos brazos del robot con las mismas características).

La condición (1) puede escribirse en la forma :

$$\text{find the minimal} \ m \ \text{such that} \ \ Y=\tfrac12X^2-\tfrac12 m \ \text{intersects region (A)}\tag{3}$$

La ecuación (3) puede ser interpretado como la genérica de la ecuación de una familia de parábolas $P_m$, "barriendo" el plano vertical y movimiento. Nuestro problema se reduce a encontrar el "último" de la intersección de la parábola con el anillo de la región.

Es evidente en la figura que esta parábola $P_m$ corresponde a $m=-6$ (punto de tangencia $Q$) (yo no hago los calculos correspondientes). Los valores de $a$ e $b$ se puede deducir sin dificultad a partir de este valor de $m$.

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PERO, en el caso considerado, no hemos tomado en cuenta si las soluciones en $x,y$ son reales o complejos. En el caso de $m=-6$, tenemos soluciones complejas $x,y$ como lo dijo @Cristiano Blatter.

Un objetivo razonable sería tener soluciones reales para $x,y$. En este caso el valor mínimo de $m$ es bastante diferente.

Vamos a encontrar con bastante facilidad mediante la restricción de las investigaciones en la intersección de anular la región de $(A)$ con la región debajo de la parábola con la ecuación de $Y=X^2/4$, a la que llamamos la región factible (dentro de borde verde de la media luna).

En este caso, los valores de la expresión (1) se visiblemente situado entre dos extremal valores que pueden ser calculadas como $m_1=-4+2\sqrt{5}$ e $m_2=10$ correspondiente a las parábolas $P_m$ pasa a través de puntos de $P$ e $R$ resp.

Por lo tanto, el valor mínimo de $m=x^2+y^2$ compatible con soluciones reales para el sistema dado es $m_1=-4+2\sqrt{5} \approx 0.4721$.

Observaciones :

1) valor Extremal $m_2=10$ es visible en su representación gráfica (recordando huevo-cajas...).

2) El (suma, producto) representación del plano que hemos utilizado es de gran importancia cuando se utiliza $trace = \lambda_1+\lambda_2$ y determinante $\lambda_1\lambda_2$ de $2 \times 2$ de la matriz, especialmente para un taxinomy de sistemas lineales. Se llama la "traza-determinante espacio". Ver, entre muchos otros. 74 de esta interesante tesis de Doctorado.

Answer 2

Deje $2=r\cos C,1=r\sin C, r\ge0\implies r^2=5$

$$x^2+y^2$ $ $$=(2\sin A-\cos B)^2-2(2\cos A+\sin B)$ $ $$=r^2\sin^2(A-C)-2r\cos(A-C)$ $

PS

Ahora para $$=r^2+1-\left(r\cos(A-C)+1\right)^2$

PS

Answer 3

Se ve feo, pero, afortunadamente, el $a$ términos y condiciones pueden ser aisladas a partir de las dos ecuaciones:

$$\tan a = \frac{\cos b}{2\sin b +1}$$ $$\sin a = \frac{\cos b(1+\sin b)}{2\sin b}$$

Una de las opciones es el uso de $1+\tan^{-2} a = \sin^{-2} a$ para obtener una ecuación para $b$ donde se puede utilizar $u=\sin b$ a hacer una ecuación polinómica. Sin embargo, usted debe tener cuidado acerca de los casos en los que algunos de los términos son cero, por ejemplo si $\tan a=0$, no se puede usar $\tan^{-1}a $. Resulta que $a=0$ e $a=\pi$ le permiten encontrar un par de soluciones directamente. Es estos casos, tanto las expresiones de arriba debe ser cero, por lo $\cos b=0$ es necesario (lo que le da las soluciones

$$a=0, b=\pm \tfrac{\pi}{2}$$ $$a=\pi, b=\pm \tfrac{\pi}{2}$$

Cómputo de los valores (y tal vez la comprobación de las segundas derivadas) muestra lo que son. $a=0, b=+\tfrac{\pi}{2}$ resulta ser el mínimo global, pero para estar seguro, usted debe comprobar la completa el polinomio de la ecuación que se obtiene con la reconstrucción total para otros, no especial los valores de $a$ e $b$.

Pista: es una función periódica de $a$ e $b$, sólo la trama es de $-\pi$ a $\pi$ en ambas direcciones.

Answer 4

Escribir $b:={\pi\over2}+c$. A continuación, las ecuaciones son $$x+y=2\sin a+\sin c,\qquad xy=2\cos a+\cos c\ ,$$ y en lugar de $f$ ahora tiene la función de $$g(a,c)=(2\sin a+\sin c)^2-4\cos a-2\cos c$$ en representación de $x^2+y^2$. Uno ve que para $a=c=0$ la función de $g$ asume que el valor de $-6$, pero es imposible para $g$ a asumir un valor más pequeño. De ello se desprende que $f$ supone el mínimo de $-6$ a $(a,b)=\bigl(0,{\pi\over2}\bigr)$.

Tenga en cuenta que tanto $x$ e $y$ son complejos en el punto extremal. Si se trata de una condición adicional de que $x$ e $y$ debe ser real, tenemos un problema más difícil.