Eligiendo$r$ cosas de un conjunto que contiene$l$ cosas de un tipo,$m$ cosas de un tipo diferente,$n$ cosas de un tercer tipo, ...

Question

Aquí es un extracto de un libro de texto que me estoy refiriendo a:

De un conjunto que contiene a$l$ cosas de un tipo, $m$ cosas de un tipo diferente, $n$ cosas de un tercer tipo y así sucesivamente, el número de maneras de elegir a $r$ cosas de este conjunto de objetos es el coeficiente de $x^r$ en la expansión de $$(1+x+x^2+x^3+...+x^l)(1+x+x^2+x^3+...+x^m)(1+x+x^2+x^3+...+x^n).$$

Por favor alguien puede explicar la intuición detrás de esto? ¿Cómo puede ser derivada?

Answer 1

La expansión de la expresión de la misma como la recolección de los elementos de los grupos. Puede ampliar la expresión en un gran paso: la elección de una sub-expresión de cada soporte y resumen de todas las posibilidades de cómo se puede hacer. Cada sub-expresión se refiere a cómo muchas de las cosas que usted elija a partir de determinado grupo. $1$ significa no elegir nada, $x$ significa elegir 1 cosa, $x^2$ significa elegir dos cosas etc.. Y el exponente de x te mostraré cómo muchas cosas que ya se han recogido.

Nadie te obliga a realizar la expansión en un solo paso, así que usted puede hacerlo en varios pasos y usted recibirá la misma.

Esta fórmula le permite agregar más restricciones. Por ejemplo, si usted no quiere que las cosas l ser seleccionado exactamente tres veces, de eliminar la $x^3$ del correspondiente soporte. O si desea que cada uno de los elementos escogidos al menos una vez, eliminar la $1$ de todos los soportes.

Answer 2

Míralo de esta manera:

"La multiplicación de medios" y " y además significa 'u'". Ahora echemos un vistazo a la expresión dada:

$$(1+x+x^2+x^3+...+x^l)(1+x+x^2+x^3+...+x^m)(1+x+x^2+x^3+...+x^n).$$

Así que lea como usted tiene que seleccionar $r$ elementos de un conjunto de $l$ objetos de $*$ (es decir, y) un conjunto de $m$ objetos de $*$ (es decir, y) un conjunto de $n$ objetos combinados. Ahora todo el poder representa el número de cosas que usted ha elegido. El poder de $0$ (es decir, $x^0$=$1$) significa que usted seleccionó $0$ objeto, $x^1$ medio $1$ objeto seleccionado y así sucesivamente. Su objetivo es elegir un total de r objetos. Para que usted tendrá que pensar en todas las maneras posibles de hacer una potencia total $r$. Esto se puede hacer ya sea por la expansión de la expresión completa o simplemente mediante el uso de combinaciones.

Por ejemplo, si $r=3$, se puede elegir potencias $3$ de todos los soportes y, a continuación, utilizar combinaciones de baja poderes para agregar hasta 3. el total coeficiente que usted recibirá es el mismo que el coeficiente de $x^3$ después de la expansión de la expresión dada.