¿Qué significa que algo sea estrictamente inferior a $\epsilon$ para un $\epsilon$ ?

Question

Quizá sea una pregunta trivial, pero es algo que nunca he entendido del todo. Si hemos demostrado que $a-b < \epsilon$ para todos $\epsilon > 0$ entonces, ¿implica eso que $a-b \le 0$ ?

Me interesa en el contexto de esta pregunta: Demostrando que $ f: [a,b] \to \Bbb{R} $ es integrable en Riemann mediante una $ \epsilon $ - $ \delta $ definición.

y en la página 172 de estas notas: http://math.uga.edu/~pete/2400full.pdf

Answer 1

Sí, así es.

Supongamos que no. Entonces $a-b > 0$ y en particular podemos tomar $\epsilon = a-b$ . La declaración dice entonces que $a-b < a-b$ Lo cual es absurdo.