Si , , Y , Entonces

Question

Tengo dos variables aleatorias

$Y \sim \operatorname{Beta}(a, 1 - a)$

$Z \sim \operatorname{Exp}(1)$

Si $Y$ e $Z$ son independientes, ¿por qué la distribución de $X = YZ \sim \operatorname{Gamma}(a, 1)$?

$f_X(x) = \int_0^\infty|\frac{1}{y}|f_Y(y)f_Z(\frac xy)dy$

$f_X(x) = \int_0^\infty \frac{1}{y}\frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha)}y^{\alpha-1}(1-y)^{-\alpha}e^{-\frac{x}{y}}dy$

pero yo no puede derivar más que de ti.

¿Cómo puedo comprobante $YZ \sim \operatorname{Gamma}(a, 1)$ ?

Answer 1

Usa el siguiente resultado:

Suponiendo que $Y$ y $Z$ son independientes, el PDF de $X = YZ$ viene dado por:

PS

Answer 2

Aquí es un enfoque familiar; nada de especial.

Conjunto pdf de $(Y,Z)$ es $$f_{Y,Z}(y,z)=\frac{e^{-z}y^{a-1}(1-y)^{-a}}{\Gamma(a)\Gamma(1-a)}\mathbf1_{0<y<1,z>0}\quad,\,0<a<1$$

Usted puede usar un cambio de variables $(Y,Z)\to (U,V)$ tal que $U=YZ$ e $V=Z$.

Así que el preimages se $z=v$ e $y=u/v$, e $0<y<1,z>0\implies 0<u<v$.

Valor absoluto del jacobiano de la transformación es $1/v$.

Esto le da a la articulación pdf de $(U,V)$:

$$f_{U,V}(u,v)=\frac{e^{-v}u^{a-1}(v-u)^{-a}}{\Gamma(a)\Gamma(1-a)}\mathbf1_{0<u<v}$$

Por lo tanto, marginal pdf de $U$ es $$f_U(u)=\frac{u^{a-1}}{\Gamma(a)\Gamma(1-a)}\int_u^\infty e^{-v}(v-u)^{-a}\,dv\,\mathbf1_{u>0}$$

Sustituto $v-u=t$, lo que convierte la integral de una función Gamma, en última instancia, de dar la respuesta $$f_U(u)=\frac{1}{\Gamma(a)}e^{-u}u^{a-1}\mathbf1_{u>0}$$

Answer 3

Usted podría utilizar Mellin de transformación para obtener la distribución para $YZ$. Para que un producto de dos vehículos recreativos, es muy sencillo teorema, el cual establece que la transformada de Mellin de la distribución del producto es el producto de Mellin de transformación de los componentes de los vehículos recreativos. Así que no hay algoritmo simple - Mellin de transformación de $Y$ multiplicado por transformada de Mellin $Z$, y, a continuación, haga inversa Mellin de transformación para obtener PDF final. Es así como el uso de la transformada de Fourier de la suma de dos vehículos recreativos.

$$ M(YZ) = M(S) M(Z) $$

Para la distribución exponencial $Y = \exp(-x)$

$$ M(Y) = \Gamma(s) $$

Para $Z = B(a, 1-a)$ uno podría fácilmente llegar

$$ M(Z) = \frac{ \Gamma(s+1) }{\Gamma(s) \Gamma(un)} $$

Por lo tanto, para el producto

$$ M(YZ) = \frac{ \Gamma(s+1) }{\Gamma(un)} $$

lo que nos da bastante obvio inversa de la transformación en la forma de

$$ PDF(x|YZ) = M^{-1}\{\frac{ \Gamma(s+1) }{\Gamma(un)} \} = \frac{ \exp(-x) x^{- 1} }{\Gamma(un)} 1_{x>0} $$