Una condición suficiente y necesaria para que un operador lineal especial sea compacto.

Question

Supongamos $X$ es de Banach y $T\in B(X)$ (es decir, $T$ es lineal y continua mapa y $T:X \to X$). También, supongamos $\exists c > 0$, s.t. $\|Tx\| \ge c\|x\|, \forall x\in X$. Demostrar $T$ es un operador compacto si y sólo si $X$ es finito dimensionales.

"$X$ es finito dimensionales $\implies$ $T$ es compacto" es fácil de demostrar. Para probar el otro lado, en primer lugar, he cometido un error, pensar $X$ es reflexiva. A continuación, este trabajo puede ser hecho fácilmente por el hecho de que cualquier secuencia de una reflexiva espacio lineal tiene una débilmente convergente larga y $T$ es completamente continuo (desde $T$ es compacto). Pero esta no es la situación.

Entonces, ¿cómo demostrar "$T$ es compacto $\implies X$ es finito dimensionales"?

Answer 1

He aquí una idea: vamos a $T(X) \ni y_n=T(x_n)\to y\in \overline{T(X)}$. Entonces, desde el $\|Tx_n\| \ge c\|x_n\|,\ x_n\to x\in X$ y la continuidad de la $T$ implica que $y_n=T(x_n)\to T(x)$ e lo $y=T(x)$. Por lo tanto, $T$ ha cerrado gama.

$T(B_X)$ contiene un balón en el espacio de Banach $T(X)$, por la asignación abierta teorema, y desde $\overline {T(B_X)}$ es compacto, $T(X)$ es localmente compacto, por lo tanto finito dimensionales. Pero $T$ es inyectiva, por lo $X$ debe ser finito dimensional ,también.

Answer 2

Sugerencia: si no, la imagen de la bola unitaria de $X$ contiene una bola en un espacio de dimensión infinita.

Answer 3

Supongamos que $X$ es de dimensiones infinitas. Luego de su unidad de pelota no es compacto, entonces existe una secuencia $\{x_n\}$ en la unidad de la bola que no admite convergente larga; reemplazando con una larga si es necesario, podemos asumir que existe $\delta>0$ con $\|x_n-x_m\|\geq\delta$ para todos los $n\neq m$. Ahora $$\|Tx_n-Tx_m\|=\|T(x_n-x_m)\|\geq c\|x_n-x_m\|\geq c\delta>0,$$ por lo $\{Tx_n\}$ no admitir convergente larga.