Si , , demostrar eso

Question

Deje $g(x)\ge0$ . Si $\int_a^bg(x)dx=0$ , muestre que $\int_a^bf(x)g(x)dx=0,$ donde $f$ es cualquier función integrable.

Si se permite que Simeone use el toro de valor medio para integrales, la prueba está a la mano. Pero para eso $f$ debe ser continuo!

¿Cualquier sugerencia?

Answer 1

Yo intente probar esto sin invocar nada acerca de la integral de Lebesgue. Por otra parte, no asumo el hecho de que $fg$ es Riemann integrable ni la desigualdad de $| \int_a^b f(x)g(x) dx | \leq \int_a^b |f(x)g(x)|dx$.

$f$ es Riemann integrable $\Rightarrow$ $f$ está acotada. Elegir $M>0$ tal que $|f(x)|\leq M$ para todos los $x\in[a,b]$. Deje $\varepsilon>0$ ser dado. Elija $\delta>0$ tal que para cualquier partición $\mathbb{P}=\{x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\}$ de $[a,b]$ (con $a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}=b$) y de cualquier $\xi_{i}\in[x_{i-1},x_{i}]$, si $||\mathbb{P}||<\delta$ ( $||\mathbb{P}||=\max_{1\leq i\leq n}|x_{i}-x_{i-1}|$), entonces $$ \left|\sum_{i=1}^{n}g(\xi_{i})(x_{i}-x_{i-1})-\int_{a}^{b}g(x)dx\right|<\frac{\varepsilon}{M}. $$ Es decir, $$ \left|\sum_{i=1}^{n}g(\xi_{i})(x_{i}-x_{i-1})\right|<\frac{\varepsilon}{M}. $$

Ahora, vamos a $\mathbb{P}=\{x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}\}$ ser arbitraria partición de $[a,b]$, $a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n}=b$, que satisface $||\mathbb{P}||<\delta$. Deje $\xi_{i}\in[x_{i-1},x_{i}]$ ser arbitraria. Entonces \begin{eqnarray*} & & \left|\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})g(\xi_{i})(x_{i}-x_{i-1})-0\right|\\ & \leq & \sum_{i=1}^{n}|f(\xi_{i})g(\xi_{i})|(x_{i}-x_{i-1})\\ & \leq & M\sum_{i=1}^{n}g(\xi_{i})(x_{i}-x_{i-1})\\ & < & M\cdot\frac{\varepsilon}{M}\\ & = & \varepsilon. \end{eqnarray*} Esto muestra que la integral de Riemann $\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx$existe y $\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=0$.

Answer 2

Esto se trata de la integración de Riemann, por lo que $f,g$ están necesariamente delimitados.

Nosotros usaremos eso.

PS

por lo que el problema se reduce a Riemann integrable no negativo $$\int_a^b f g dx =\int_a^b \underset{\mbox{nonnegative}}{\underbrace{(f - \inf f)}} g dx+ (\inf f )\underset{=0}{\underbrace{\int_a^b g dx}} $ . Para tales $f$

PS

Answer 3

Desde $g(x)\ge0$ e $\int_{a}^bg(x)=0$, entonces para cada a$\epsilon>0$, $m(\{x:g(x)\ge\epsilon\})=0$ donde $m$ denota la medida de Lebesgue en $\mathbb R^1$. Set $\int_a^b |f(x)|dx=M<\infty$ desde $f(x)$ es integrable. \begin{align} \int_a^b |f(x)g(x)|dx&=\int_a^b |f(x)|g(x) \chi_{\{x:g(x)<\epsilon\}}dx+\int_a^b |f(x)|g(x)\chi_{\{x:g(x)\ge \epsilon\}}dx\\ &\le \epsilon\int_a^b |f(x)|dx\\ &=\epsilon M \end{align} Desde $\epsilon$ pueden ser arbitrariamente pequeño, llegamos a la conclusión de que $\int_a^bf(x)g(x)dx=0$.

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O usted puede utilizar la idea anterior para demostrar que $g(x)=0$ a.e. Para ello, tenga en cuenta que podemos descomponer el conjunto $\{x:g(x)>0\}$ como

$$\displaystyle{\{x:g(x)>0\}=\bigcup_{n=1}^\infty\{ x: g(x)\ge\frac 1n \}}$$

y tenga en cuenta que

$$ m(\{x:g(x)>0\})\le\sum_{n=1}^\infty m(\{ x: g(x)\ge\frac 1n \})=0 .$$

Podemos concluir que $g(x)=0$ a.e. Esto le dará $\int_a^b f(x)g(x)dx=0.$

Answer 4

Defina $$ \begin{align} p_n(x) &=\frac{|x-n|-|x-n-1|-|x+n|+|x+n+1|}2\\[6pt] &=\left\{\begin{array}{cl} -1&\text{if }x\lt-n-1\\ x+n&\text{if }-n-1\le x\lt-n\\ 0&\text{if }-n\le x\lt n\\ x-n&\text{if }n\le x\lt n+1\\ 1&\text{if }n+1\le x \end {array} \ right. \ end {align} $$ En particular, $p_n$ es continuo, por lo que $p_n(f)$ es integrable. Además, $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{n-1}p_k(x) &=\frac{|x+n|-|x-n|}2\\ &=\left\{\begin{array}{cl} -n&\text{if }x\lt-n\\ x&\text{if }-n\le x\lt n\\ n&\text{if }n\le x\\ \end {array} \ right. \ end {align} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \left|\int_a^bf(x)\,g(x)\,\mathrm{d}x\right| &=\left|\sum_{n=1}^\infty\int_a^bp_n(f(x))\,g(x)\,\mathrm{d}x\right|\\ &\le\sum_{n=1}^\infty\int_a^b|p_n(f(x))|\,g(x)\,\mathrm{d}x\\ &\le\sum_{n=1}^\infty\int_a^b\,g(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\sum_{n=1}^\infty0\\[6pt] &=0 \end {align} $$ Tenga en cuenta que si $f$ es finito, entonces la suma anterior es finita.