Prueba la serie $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n!)^2}$ converge a un número irracional

Question

¿Cómo se puede demostrar que la serie $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{(n!)^2}$ converge a un número irracional? No es necesario utilizar la expansión de Taylor, las integrales o cualquier técnica avanzada/profesional. Se puede demostrar utilizando sólo técnicas básicas. Mi primer intento fue suponer que la serie sí converge a un número racional $ \frac{p}{q}$ y entonces se deduce por definición que para cada épsilon positivo existe un número entero k tal que $ {\sum_{n=1}^{k} \frac{1}{(n!)^2} -\frac{p}{q}}<=\epsilon$ Intenté conseguir una contradicción pero fracasé.

Answer 1

Aquí hay una pequeña prueba de que $e$ es irracional . Su pregunta se puede resolver de la misma manera.

Answer 2

Una pista: si $x=\frac pq$ ¿Qué puede decir sobre $x(q!)^2$ ?

Otra pista: ¿qué se puede decir de $(q!)^2\sum\limits_{n=1}^q\frac1{(n!)^2}$ ¿Qué pasa con $(q!)^2\sum\limits_{n=q+1}^\infty\frac1{(n!)^2}$ ?

Answer 3

En primer lugar, te aconsejo que repases la demostración en "Walter Rudin: Principios de Análisis Matemático", capítulo sobre Secuencias y series, donde demuestra que e es irracional. A continuación, utiliza los mismos pasos(similares) y demuestra lo siguiente:

Si $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k!)^2} = L$$ y $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{(k!)^2} = L_n$$

$$0 < L - L_n < \frac{1}{(n!)^2 n(n+2)}$$

Siga pasos similares para obtener su resultado.

Answer 4

Propuesta. La siguiente serie converge $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n!)^2},$$ a un número que llamamos $S$ . El número $S$ se encuentra en el intervalo $$1.2795<S<1.2796$$ y es irracional.

Prueba. Para examinar si la serie converge, examinemos si la cola de la serie tiende a cero. Para cualquier número entero $0<N<M,$ uno tiene $$\sum_{n=N+1}^{M}\frac{1}{n!^2}=\frac{1}{(N+1)!^2}+ \frac{1}{(N+2)!^2}+\frac{1}{(N+3)!^2}+\cdots$$ $$=\frac{1}{(N+1)!^2}\Big[1+\frac{1}{(N+2)^2}+\frac{1}{(N+2)^2(N+3)^2}+\cdots\Big], $$ donde la suma en cada línea se detiene en el término correspondiente a $M,$ pero que no anotamos a efectos de presentación. La cantidad dentro de los paréntesis es menor que $$1+\frac{1}{(N+2)^2}+\frac{1}{(N+2)^4}+\cdots $$ que es una suma geométrica con relación $$x:=\frac{1}{(N+2)^2}.$$ Desde $0<x<1,$ la serie geométrica converge y podemos extender la suma hasta el infinito para conseguir que la cantidad de paréntesis sea menor que $$\frac{1}{1-\frac{1}{(N+2)^2}} \leq 2.$$ Hemos demostrado que para cualquier $0<N<M,$ tenemos $$0<\sum_{n=N+1}^{M}\frac{1}{(n!)^2}< \frac{2}{(N+1)!^2} \to 0,$$ y por lo tanto nuestra serie converge.

Para demostrar que el número definido por la serie se encuentra en $[1.2795,1.2796]$ tomamos $N=4$ en la siguiente desigualdad, que acabamos de demostrar: $$\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{(n!)^2} < S < \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{(n!)^2} + \frac{2}{(N+1)!^2}. $$

Concluimos mostrando la irracionalidad de S. Supongamos por el contrario que $S$ es racional, es decir, existen enteros $a,b$ tal que $S=\frac{a}{b}.$ Desde $S>0,$ conseguimos que $a,b$ tienen el mismo signo. Podemos suponer que ambos son positivos, ya que podemos multiplicar numerador y denominador de la fracción por $-1$ si no lo son. Tenga en cuenta que desde $S>1,$ tenemos que $a>b\geq 1.$ A continuación, obtenemos para $N=b,$ que $$ 0<S-\sum_{n=1}^{b}\frac{1}{(n!)^2}<\frac{2}{(b+1)!^2}, $$ para que al utilizar $S=a/b$ y multiplicando por $b!^2,$ obtenemos $$ 0<a (b-1)!b!-\sum_{n=1}^{b}\frac{(b!)^2}{(n!)^2}<\frac{2}{(b+1)}\frac{1}{(b+1)}. $$ Ahora llegaremos a una contradicción demostrando que el número del medio es un entero y el de la derecha es $<1.$

La primera afirmación se demuestra observando que siempre que $n\leq b,$ entonces $n!$ divide $b!$ y la segunda afirmación se demuestra observando que $2 \leq b+1. \ \ \ \ \ \square $

EDIT: Se puede demostrar una afirmación similar utilizando el mismo método, a saber, que siempre que $a_n$ es una secuencia estrictamente creciente de números naturales, entonces la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n!}$$ converge a un número irracional. El caso $a_n=n$ corresponde a $e.$ De esta manera se pueden dar construcciones explícitas de incontables irracionales. Para demostrar la irracionalidad, si $S=a/b$ como antes, que $N$ se definirá como el menor número entero positivo con la propiedad de que $$a_N \geq b.$$ Entonces se obtiene $$0<a\frac{a_N!}{b}-\sum_{n=1}^{N}\frac{a_N!}{a_n!}\leq a_N!\sum_{k=1+a_N}^{\infty}\frac{1}{k!} <a_N!\frac{2}{(1+a_N)!}=\frac{2}{1+a_N}\leq 1.$$

Answer 5

Escríbalo como $p/q$ con $p\,q$ enteros coprimos, $q\le2$ Así que $q!(q-1)!p=\sum_{n\ge1}\frac{q!^2}{n!^2}$ . Por lo tanto, $\sum_{n\ge q+1}\frac{q!^2}{n!^2}$ es un número entero. Pero no puede serlo, ya que es un número positivo $\le\sum_{k\ge1}\frac{1}{q^{2k}}=\frac{1}{q^2-1}$ .