$ \lim_{x\to \frac{1}{{\sqrt 2}^+}} \frac{\cos ^{-1} \left( 2x\sqrt{1-x^2}\right)}{x-\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Question

$\displaystyle \lim_{x\to {1\over \sqrt{2}^+}} \dfrac{\cos ^{-1} \left( 2x\sqrt{1-x^2}\right)}{x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}}$

He intentado sustituirlo por $x$ para $\sin \theta$ haciendo los cálculos y terminó con - $2√2$ . Pero la solución aportada fue $2√2$ . Entonces volví a intentar esta pregunta, pero esta vez utilicé $\cos \theta$ en lugar de $\sin \theta$ y la respuesta coincidió. No entiendo por qué $x$ como $\sin \theta$ no da el resultado correcto. He comprobado todos mis pasos pero no he podido encontrar ningún fallo con $\sin \theta$ como sustitución. ¿Puede alguien decirme si $\sin \theta $ una sustitución errónea para esta pregunta o no?

Answer 1

Una pista:

Dejemos que $\arcsin x= t\implies x=\sin t,\dfrac\pi4\le t\le\dfrac\pi2,\cos t=+\sqrt{1-x^2}$

$$\dfrac{\cos^{-1}(\sin2t)}{\sin t-\dfrac1{\sqrt2}}=\dfrac{\dfrac\pi2-\sin^{-1}(\sin2t)}{\sin t-\dfrac1{\sqrt2}}$$

Ahora usando Demostración de la fórmula de la suma de funciones arcoseno $ \arcsin x + \arcsin y $ ,

$\sin^{-1}(\sin2t)=\pi-2t$ como $2t\ge\dfrac\pi2$

Answer 2

Se puede utilizar la regla de l'Hopital, entonces $$\lim_{x\to {1\over \sqrt{2}^+}} \dfrac{\cos ^{-1} \left( 2x\sqrt{1-x^2}\right)}{x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}} = \lim_{x\to {1\over \sqrt{2}^+}}\dfrac{-2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-4x^2-4x^4}} = \lim_{x\to {1\over \sqrt{2}^+}}\dfrac{-2(1-2x^2)}{\sqrt{1-x^2}(2x^2-1)}=2\sqrt{2}$$

Answer 3

Dejemos que $x=t+\frac1{\sqrt 2}$ para hacer $$A=\dfrac{\cos ^{-1} \left( 2x\sqrt{1-x^2}\right)}{x-\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=\dfrac{\cos ^{-1}(T)}t\qquad \text{with} \qquad T=2 \left(t+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \sqrt{1-\left(t+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}$$

Ahora, utilizando las expansiones de Taylor en torno a $t=0^+$ $$T=1-4 t^2-4 \sqrt{2} t^3+O\left(t^4\right)$$ Ahora, utilizando la expansión de $\cos ^{-1}(.)$ Entonces tenemos $$\cos ^{-1}(T)=2 \sqrt{2} t+2 t^2+\frac{t^3}{3 \sqrt{2}}+O\left(t^4\right)$$ $$A=2 \sqrt{2}+2 t+\frac{t^2}{3 \sqrt{2}}+O\left(t^3\right)$$