Estoy buscando referencias, nombres conocidos, y otros útiles consejos y conocimiento acerca de (pares) de los operadores diferenciales que son "de la playa de la bola como" debido a que muestra una de 2 dimensiones de la función en estos infinitesimalmente tamaño de patrones regulares con la indicada en la alternancia de polaridades:
Figura 1. Pares de operadores diferenciales y una pelota de playa.
Estos incluyen un hexágono y un decagonal patrón. Los pares de operadores puede estar formado por:
$$\begin{gather}\lim_{h\to 0}\frac{\sum_{N=0}^{4N + 1} (-1)^n f\bigg(x + h\cos\left(\frac{2\pi n}{4N + 2}\right), y + h\sin\left(\frac{2\pi n}{4N + 2}\right)\bigg)}{h^{2N + 1}},\\ \lim_{h\to 0}\frac{\sum_{N=0}^{4N + 1} (-1)^n f\bigg(x + h\sin\left(\frac{2\pi n}{4N + 2}\right), y + h\cos\left(\frac{2\pi n}{4N + 2}\right)\bigg)}{h^{2N + 1}},\end{gather}\tag{1}$$
although I'm not certain about the normalization factor $h^{-(2N+1)}$, which at least does not collapse the operator to zero or blow it up to infinity for $N=0$, which is simply a coefficient times differentiation:
$$\begin{gather}N=0:\\ 2\frac{d}{dx}f(x, y),\\ 2\frac{d}{dy}f(x, y),\end{gather}\tag{2}$$
or for $N=1$, which I think is:
$$\begin{gather}N=1:\\ \frac{1}{4}\left(\frac{d}{dx}\right)^3f(x,y)-\frac{3}{4}\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dy}\right)^2f(x, y),\\ \frac{1}{4}\left(\frac{d}{dy}\right)^3f(x,y)-\frac{3}{4}\frac{d}{dy}\left(\frac{d}{dx}\right)^2f(x, y).\end{gather}\tag{3}$$
Applying these to a 2-d Gaussian function and plotting:
Figure 2. Color-mapped 1:1 scale (pixel:unit) plots of, in order: A 2-d Gaussian function with standard deviation $\sigma = 16$, derivative of the Gaussian function with respect to horizontal coordinate $x$, differential operator $\frac{1}{4}\big(\frac{d}{dx}\big)^3-\frac{3}{4}\frac{d}{dx}\big(\frac{d}{dy}\big)^2$ aplicado a la función de Gauss. Clave de colores: azul: mínimo, blanco: cero, rojo: máximo.
Fuente de Python para Fig. 2:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.ndimage
sig = 16 # Standard deviation
N = 161 # Image width
x = np.zeros([N, N])
x[N//2, N//2] = 1
h = scipy.ndimage.gaussian_filter(x, sigma=[sig, sig], order=[0, 0], truncate=(N//2)/sig)
ddx = scipy.ndimage.gaussian_filter(x, sigma=[sig, sig], order=[0, 1], truncate=(N//2)/sig)
h1x = scipy.ndimage.gaussian_filter(x, sigma=[sig, sig], order=[0, 3], truncate=(N//2)/sig) - 3*scipy.ndimage.gaussian_filter(x, sigma=[sig, sig], order=[2, 1], truncate=(N//2)/sig)
plt.imsave('h.png', plt.cm.bwr(plt.Normalize(vmin=-h.max(), vmax=h.max())(h)))
plt.imsave('ddx.png', plt.cm.bwr(plt.Normalize(vmin=-ddx.max(), vmax=ddx.max())(ddx)))
plt.imsave('h1x.png', plt.cm.bwr(plt.Normalize(vmin=-h1x.max(), vmax=h1x.max())(h1x)))
plt.imsave('gaussiankey.png', plt.cm.bwr(np.repeat([(np.arange(N)/(N-1))], 16, 0)))
He encontrado algunos literatura acerca de una aplicación que incluye además a aquellos similares operadores diferenciales que tienen un número de muestras en cada mitad del círculo, en la Fig. 1, y (mi interpretación ayudado por @KBDave la respuesta) representa cada par de operadores como la real y la parte imaginaria del operador. Con esas, la rotación entre las partes real e imaginaria sería tal que la parte imaginaria se tiene muestras en el círculo (véase la Fig. 1) a mitad de camino entre las muestras de la parte real.
Figura 3. Parte superior: parte real, parte inferior: parte imaginaria de una función compleja y operadores diferenciales aplicadas. De Pietro Perona, "Deformable núcleos de principios de visión", Informe Técnico MIT-TAPAS-P-2039, de octubre de 1991, publicado en abril de 1995, IEEE transactions on Patrón de Análisis e Inteligencia artificial 17(5):222-227.
Esto le da a un conjunto más completo de los operadores diferenciales para mirar.
