Un acertijo que involucra a la serie.

Question

El padre ha dejado a sus hijos varias monedas de oro idénticas. Según su testamento, el hijo mayor recibe una moneda y la séptima parte de las monedas restantes, el siguiente hijo recibe dos monedas y la séptima parte de las monedas restantes, el tercer hijo recibe tres monedas y la séptima parte de las monedas restantes, y así sucesivamente hasta el hijo menor. Si cada hijo hereda un número entero de monedas, encuentra el número de hijos y de monedas de oro.

Intenté escribir $x_k$ como alguna función de $k$ (donde $x_k$ es el número de monedas tomadas por el $k_{th}$ niño), pero no lo consiguió. Todo lo que pude escribir es $x_k= k + \frac{1}{7}(n-k- S_{k-1})$ donde $S_k$ denota la suma de los primeros $k$ términos entonces $S_k=\frac{n}{7} + \frac{6}{7}(S_{k-1} +k)$ pero no puedo seguir adelante, por favor, ayuda.

Answer 1

Si $n>0$ es el número de hijos y denotamos por $c_k$ el número de monedas que quedan después de la primera $k$ niños han tomado su parte, tenemos

$$ c_{k+1} = \frac{6}{7} \bigl(c_k - (k+1)\bigr) ~~~\text{ for } k=0,\ldots,n-1 \enspace, $$

con $c_n = 0$ . Aplicación de funciones generadoras,

$$ C(x) \biggl(\frac{1}{x} - \frac{6}{7} \biggr) = \frac{c_0}{x} - \frac{6}{7}\biggl(\frac{nx^n}{x-1} - \frac{x^n-1}{(x-1)^2}\biggr) \enspace. $$

Tomando $x=\frac{7}{6}$ el lado izquierdo desaparece y podemos resolver para $c_0$ :

$$ c_0 = 36 + 6 (n-6)\biggl(\frac{7}{6}\biggr)^{\!n} \enspace. $$

El único valor positivo de $n$ para lo cual $c_0$ es un número entero es $6$ . Por lo tanto, $c_0=36$ .

Answer 2

Supongamos que $D_r$ es el número de monedas que quedan antes de distribuir a los $r^{th}$ niño y que $C_r$ es el número de monedas recibidas por el $r^{th}$ niño.

Entonces $$C_r=r+\frac {D_r-r}7$$ y $$D_{r+1}=D_r-C_r=\frac {6(D_r-r)}7$$

En particular, para que estos números sean enteros debemos tener $D_r-r$ divisible por $7$ y $D_{r+1}$ divisible por $6$ - lo que significa $D_r$ es divisible por $6$ .

Así que dejemos $D_r-r=7a$ entonces $D_{r+1}=6a$ con $D_r=7a+r$ .

Y trabajando hacia atrás si $D_{r+1}=6a$ entonces $D_r=7a+r$ con $C_r=a+r$

Ahora mira al último niño, que debe recibir un número entero de monedas, y si hay $n$ niños, esto debe ser $D_n=n=6b$ .

Entonces $D_{n-1}=7b+n-1=13b-1=12b+(b-1)$

Ahora $b-1$ debe ser un múltiplo de $6$ - decir $6c$ para que $b=6c+1$ y $D_{n-1}=78c+12=6(13c+2)$

De donde $D_{n-2}=7(13c+2)+(n-2)=91c+12+n=91c+12+36c+6=126c+18+c$

Y ahora $c$ debe ser divisible por $6$ , digamos que $c=6d$ . Explorando hacia atrás tenemos $n=36c+6=216d+6$ y siendo realistas debemos tener $d=0$ y $n=6$ .

Verá que $n=6$ funciona bien.

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De forma más rigurosa, una vez que estamos ante la posibilidad $c\gt 0$ parece posible demostrar que cada paso aporta otro múltiplo de $6$ y esto significa que el número de hijos crece sin límite: cada vez que añadimos un escalón, el número de hijos se multiplica en aproximadamente $6$ .