Una categoría abeliana es algo así como un topos elemental, pero hay una analogía mejor: el Barr categorías exactas. Se trata de categorías con límites finitos y cocientes de relaciones de equivalencia que interactúan muy bien con los pullbacks. Todos los topos son exactos para Barr, pero no a la inversa: por ejemplo, las categorías de estructuras algebraicas son exactas para Barr, pero muy raramente son topos, ya que rara vez son cartesianas cerradas. De hecho, Barr demostró en su documento original sobre el tema de que una categoría es abeliana si y sólo si es aditiva y (Barr) exacta.
A continuación responderé a su pregunta sobre la inclusión de pequeños topoi en conjuntos. De nuevo, no es la analogía correcta: deberíamos hablar más bien de categorías exactas de Barr pequeñas. Y no es razonable esperar incrustarlos bien en la categoría de conjuntos, ya que, por ejemplo, el objeto terminal sería entonces un generador. La analogía más cercana con el teorema de Mitchell sería pedir que una pequeña categoría exacta de Barr $\mathcal E$ incrustar exactamente en una categoría de derecho $M$ -para un monoide $M$ siendo el análogo no aditivo de una categoría de $R$ -módulos. Desgraciadamente, esto todavía no es posible: por ejemplo, el objeto terminal de la categoría de $M$ -no tiene subobjetos no triviales, mientras que en $\mathcal E$ podría.
Sin embargo, ésta es esencialmente la única limitación. En el mismo artículo antes citado, Barr incrusta exactamente toda categoría exacta pequeña en la categoría de preeslabones de una categoría construida a partir de su conjunto de objetos subterminales. La última advertencia es que, fuera del mundo abeliano, "exacto" debe tener un nuevo significado. Concretamente, significa "preservar límites finitos y coigualadores de relaciones de equivalencia". Es un ejercicio interesante ver que esto se reduce a la definición habitual de exactitud para functores entre categorías abelianas.
En cuanto a tu pregunta sobre una caracterización de las localizaciones reflexivas exactas de categorías de gavillas de módulos, hay una respuesta bien conocida con una ligera generalización. Permitamos $X$ para ser preaditivos y considerar funtores aditivos. Entonces tales categorías $C$ son exactamente las categorías abelianas de Grothendieck, es decir, las categorías abelianas cocompletas que admiten un generador en el que los colímites filtrados son exactos. Una dirección de esto es la famosa:
Teorema (Gabriel-Popescu) Toda categoría abeliana de Grothendieck es una localización exacta de una categoría $[A^{\mathrm{op}},\mathrm{Ab}]$ de pretramas aditivas de grupos abelianos en una categoría preaditiva pequeña $A$ .
No es necesario considerar una topología en $A$ ya que una localización exacta de una categoría de láminas es ciertamente una localización exacta de una categoría de preelementos.
Para la inversa, es un hecho básico que las subcategorías reflexivas de categorías cocompletas son cocompletas y que la reflexión de un generador proporciona un generador. Por último, si $\mathcal{C'}\to \mathcal{C}$ es un exacto la localización y los colímites filtrados conmutan con límites finitos en $\mathcal{C}$ entonces lo hacen en $\mathcal{C'}$ . En efecto, si $A$ se filtra entonces todos los functores $$\mathcal{C'}^A\to \mathcal{C}^A\stackrel{\mathrm{colim}}{\to} \mathcal{C}\to \mathcal{C'}$$ conservan límites finitos por suposición, mientras que el compuesto de la cadena anterior es el $A$ -de $\mathcal{C'}$ .
