¿Por qué este método de integración no es válido?

Question

Deje $$I=\int \frac{\sin x}{\cos x + \sin x}\ dx \tag{1}$$

Ahora vamos a $$u=\frac{\pi}{2} - x \tag{2}$$ so $$I=\int \frac{\sin (\frac{\pi}{2} - u)}{\cos (\frac{\pi}{2} - u)+\sin (\frac{\pi}{2} - u)}\ du \tag{3}$$

$$=\int\frac{-\cos u}{\sin u + \cos u} \ du \tag{4}$$

$$= \int\frac{-\cos x}{\sin x + \cos x} \ dx \tag{5}$$

y, por tanto, $$2I=\int\frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} \ dx \tag{6}$$

$$=-\ln\ |\sin x + \cos x| + c \tag{7}$$

$\implies I=-\frac{1}{2}\ln|\sin x + \cos x| + c \tag{8}$

Pero la pregunta real es de $$I= \frac{1}{2}x -\frac{1}{2}\ln|\sin x + \cos x| + c \tag{9}$$

según Wolfram Alpha y apoyado por un método diferente.

¿Por qué mi método no dará el resultado correcto?

Answer 1

Usted no ha prestado la suficiente atención a los límites de la integración de las dos integrales son la adición de no durante el mismo intervalo.

El método a utilizar aquí es bastante similar a la tuya usando el mismo truco correctamente, sin perturbar el intervalo de integración:

$$\frac{2\sin x}{\sin x + \cos x}=\frac {\sin x +\cos x}{\sin x +\cos x}+\frac {\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x}$$

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Usted puede ser que necesite un poco más de explicación del intervalo en cuestión.

Las integrales son aditivos en dos maneras.

En primer lugar, si la misma función está integrada en distintos intervalos (más tarde conjuntos medibles), entonces podemos integrar sobre la unión de los intervalos y la integral sobre la totalidad es la suma de las integrales sobre las piezas.

En segundo lugar, si nos integrar las diferentes funciones durante el mismo intervalo (medibles), la suma de las integrales es igual a la integral de la suma de las funciones.

Aplicar su método a la integral de la $x^2$ y el uso de la sustitución de $y=-x$. La integral que se obtiene es la integral de la $-x^2$. La adición de los dos consigue el doble de la integral es cero, lo cual es un disparate, porque la función está integrando es positivo, excepto en $x=0$. Lo que ha sucedido aquí es que se han intercambiado los límites de integración, y que usted necesita para invertir el signo de enderezarlas.

Su método ha invertido tanto los límites y las tradujo por $\frac {\pi} 2$. No se puede agregar el de las integrales en este caso y espera a llegar a la respuesta correcta.

Answer 2

$$\int_{a}^{b}\frac{\sin \ x}{\cos \ x + \sin \ x}dx\neq \int_{a}^{b}\frac{-\cos \ x}{\cos \ x + \sin \ x}dx$ $ pero $$\int_{a}^{b}\frac{\sin \ x}{\cos \ x + \sin \ x}dx= \int_{\pi/2-a}^{\pi/2-b}\frac{-\cos \ x}{\cos \ x + \sin \ x}dx$ $

Answer 3

Vamos a aplicar su 'método' de una forma mucho más simple ejemplo:

Deje $I = \int x\ dx$. Deje $y = 1-x$. A continuación, $I = \int (1-y)\ dx = \int (y-1)\ dy = \int (x-1)\ dx$. Por lo $0 = \int 1\ dx$. Jaja...

Entonces, ¿qué salió mal? La razón no puede encontrar fácilmente una referencia que dice que las integrales indefinidas no se puede agregar es que hay diferentes maneras de interpretar y manipular la integral indefinida de la notación, algunos de los cuales no permiten dicha adición (y prohibir otras manipulaciones).

En particular, la notación que se utiliza refleja el punto de vista de una integral indefinida como un anti-derivada. Que es, $x$ es una variable e $I$ es otra variable que $\frac{dI}{dx} = x$. Tenga en cuenta que esto ya implica que usted ha $\int (1-y)\ dx = \int (y-1)\ dy + c$ para algunas constantes $c$ (que no se puede controlar), pero también implica que $\int (y-1)\ dy$ es no el mismo que $\int (x-1)\ dx$, debido a $x,y$ no son variables ficticias en este marco. Después de todo, no hay que olvidar que los ató por la relación $y = 1-x$.

Otro punto de vista es tratar indefinido integrales como las integrales definidas desde algún punto fijo, en cuyo caso usted no puede utilizar su anotación en el primer lugar. En este punto de vista, dado cualquier intervalo real $D$ e integrable función de $f : D \to \mathbb{R}$, tomamos "$\int f(x)\ dx$" para significar $\int_a^x f(t)\ dt$ donde $a$ es algunos fijos real en $D$, e $x$ aquí es una variable libre y la expresión no tiene sentido, excepto en un contexto donde las $x$ está definido. Así que para nuestro pequeño ejemplo, $\int (x-1)\ dx = \int_a^x (t-1)\ dt$ e $\int (y-1)\ dy = \int_a^y (t-1)\ dt$, por lo que claramente no podemos afirmar que son iguales para todas las $x,y$ satisfacción $y = 1-x$.

Answer 4

La incorrecta parte está suponiendo: $$\int\frac{-\cos \ u}{\sin \ u + \cos \ u} du=\int\frac{-\cos \ x}{\sin \ x + \cos \ x} dx$$ Uno es dependiendo $x$ , mientras que el otro depende de $u$.

La integración de una integral indefinida es como tener una función que depende de un parámetro, y podemos ver como el opuesto de la derivada (no como el cómputo de la superficie bajo alguna función).

Sí, por una integral definida, tenemos:$$\int_a^b \frac{-\cos \ u}{\sin \ u + \cos \ u} du=\int_a^b\frac{-\cos \ x}{\sin \ x + \cos \ x} dx$$ Pero eso es porque la integral definida calcula el área y el resultado siempre será una constante ($x$ e $u$ son variables ficticias en este caso).

Answer 5

Vamos a pasar por alto la falta de signo de menos en la línea (3) (desde $\mathrm{d}u = - \mathrm{d}x$). En su lugar vamos a inspeccionar el método.

La versión corta: una Vez que establecen una relación entre la $x$ e $u$, se han establecido . Usted no consigue a cambio de que la relación sin implícitamente reducir el dominio de validez de la solución simultánea conjunto de las múltiples relaciones.

Vamos a empezar con algo que todos sabemos. $$ \int x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}x^2 + C \text{.} $$ Y vamos a realizar el cambio de variable (y porque me observó por encima, voy a incluir el signo menos), $x = \frac{\pi}{2} - u$, lo $\mathrm{d}x = - \mathrm{d}u$: \begin{align*} -\int \left(\frac{\pi}{2} - u \right) \,\mathrm{d}u = \frac{-\pi u + u^2}{2} + C \text{.} \end{align*} Esto es muy diferente de la respuesta anterior (incluso teniendo en cuenta la naturaleza "elástica" de "${}+C$" para producir y absorben ciertas expresiones constantes). Por qué? Debido a que usted tiene ya establecido que $x = \frac{\pi}{2} - u$. Estamos no es libre para cambiar a $u = x$ (a menos que en realidad sólo quieren una expresión que funciona en sólo un punto, donde $u = x = \frac{\pi}{2} - u$, que es, a $u = \pi/4$).

Así que un cliente entra en nuestra matemáticas de la tienda preguntando por la antiderivada de algo en términos de $x$. Les damos una respuesta que involucre $u$s. Posiblemente hemos tenido un accidente cerebrovascular, ya que estamos hablando tonterías. Para responder al cliente, debemos volver a las variables se les preguntó acerca y ya hemos establecido la relación entre el $x$ e $u$. Por lo tanto, tenemos \begin{align*} \int x \,\mathrm{d}x &= -\int \left(\frac{\pi}{2} - u \right) \,\mathrm{d}u \\ &= \frac{-\pi u + u^2}{2} + C \\ &= \frac{-\pi \left( \frac{\pi}{2} - x \right) + \left( \frac{\pi}{2} - x \right)^2}{2} + C \\ &= \frac{-\pi^2 + 4x^2}{8} + C \\ &= \frac{x^2}{2} + C \text{,} \end{align*} donde aquí nos han deje $C$ absorber la constante de $-\pi^2/8$.