Centro de los Cuaterniones: Prueba y Método.

Question

Tengo que calcular el centro de la real cuaterniones, $\mathbb{H}$.

Así, supuse dos cuaterniones, $q_n=a_n+b_ni+c_nj+d_nk$ calculadas y de sus productos. Supongo que ya que estamos tratando con los anillos, que a cheque a cheque de su propiedad conmutativa del producto bajo la multiplicación. Así que estoy buscando a $q_1q_2=q_2q_1$. Cuando hago esto, me parece que claramente los términos constantes son idénticos, por lo que es claro que el subconjunto $\mathbb{R}$ está en el centro. Así que, tal vez, entonces, que el $\mathbb{C}\le\mathbb{H}$. Sin embargo, me terminé, después de que el cálculo directo con el siguiente sistema;

$$c_1d_2=c_2d_1$$ $$b_1d_2=b_2d_1$$ $$b_1c_2=b_2c_1$$

Para la determinación de entonces se encuentra la solución de este sistema. Intuitivamente, sentí que conducen a $0$'s en todas partes y por lo tanto el centro de $\mathbb{H}$, $Z(\mathbb{H})=\mathbb{R}$. Yo, a continuación, comprobar en línea para una confirmación y, de hecho, parecía validar mi resultado. Sin embargo, el método de prueba usado es algo que no he visto. Fue bastante sencillo y comprensible, pero de nuevo, que nunca he visto. Es como sigue;

Supongamos $b_1,c_1,$ $d_1$ son arbitrarias de los coeficientes reales y $b_2, c_2,$ $d_2$ son fijos. Teniendo en cuenta la primera ecuación, se asume que el $d_1=1$ (ya que es arbitrario, es un valor que puede ser real...). Esto lleva a $$c_1=\frac{c_2}{d_2}$$ Y que esto es una contradicción, ya que $c_1$ ya no es arbitraria (depende de a $c_2$$d_2$)

Me gusta mucho este método de prueba, aunque es desconocida para mí. Dije antes que el de mi propio entendimiento, parece intuitivamente obvio, pero que no es, obviamente, la prueba:

1) ¿Cuáles son algunos de los otros métodos de prueba para la solución de este sistema que no sea el método de contradicción se utiliza a continuación? Yo estaba luchando con esto y siento que me sholnd no ser.

2) ¿Qué otras pruebas se pueden encontrar en la escuela primaria cursos de pregrado que utilizan este método de "asumir arbitraria cosas", y "arreglar algunas otras cosas" y obtener una contradicción? He encontrado este método muy limpio y divertido, pero nunca he visto que se usa (que yo sepa) en cualquier escuela primaria cursos de pregrado hasta el momento...

Answer 1

No estoy seguro de donde la contradicción se encuentra exactamente en la prueba por contradicción. Pero aquí hay otro método.

Un elemento $x\in \mathbb H$ pertenece al centro si y sólo si $[x,y]=0$ todos los $y\in \mathbb H$ donde $[x,y]=xy-yx$ denota el conmutador de dos elementos.

Vemos inmediatamente que $[x,1]=0$, mientras que si $x=a+bi+cj+dk$ hemos $$ [x i]=-2ck+2dj. $$ Por lo tanto $[x,i]=0$ si y sólo si $c=d=0$. Del mismo modo $[x,j]=0$ si y sólo si $b=d=0$. Por lo tanto, los únicos elementos que $x$ que conmuta con tanto $i$$j$$x\in \mathbb R$; en particular, se deduce que el $Z(\mathbb H)\subset \mathbb R$. Pues es claro que $\mathbb R\subset Z(\mathbb H)$, el resultado de la siguiente manera.

La Idea detrás de la prueba: Hay tres copias especiales de los números complejos sentado dentro de $\mathbb H$: los subespacios $$ \mathbb C_i=\mathbb R[i],\qquad \mathbb C_j=\mathbb R[j],\qquad \mathbb C_k=\mathbb R[k]. $$ Más de $\mathbb H$, todos estos subespacios son sus propios centros: $Z_{\mathbb H}(\mathbb C_i)=\mathbb C_i$ y así sucesivamente. Desde $$\mathbb H=\mathbb C_i+ \mathbb C_j+ \mathbb C_k,$$ de ello se desprende que $Z(\mathbb H)=Z(\mathbb C_i)\cap Z(\mathbb C_j)\cap Z(\mathbb C_k)=\mathbb R$.

Answer 2

Si$a+bi+cj+dk$ está en el centro, entonces debería conmutar con los generadores$$i,j,k,\mbox{ and reals}.$ $. Por ejemplo, ¿qué obtenemos por$(a+bi+cj+dk).i=i.(a+bi+cj+dk)$?