Deje $R$ ser un conmutativa de dominio y deje $M$ $N$ ser torsiones $R$ módulos. Me gustaría saber si es o no $M\otimes_{R}{N}$ es siempre distinto de cero. Ahora, sé que esto es verdad en el finitely generado caso; de hecho, tenemos algo más fuerte, ya que para finitely módulos generados $M$ y $N$, $M\otimes_{R}{N}=\{0\}$ si y sólo si $\operatorname{Ann}{M}+\operatorname{Ann}{N}=R$.
De vuelta a la general no finitely generado caso. Tome $m\in{M}$$n\in{N}$, en tanto distinto de cero. A continuación, en particular (utilizando el resultado se indicó anteriormente o simplemente por el hecho de que estamos tensoring libre módulos), $m\otimes{n}$ es distinto de cero como un elemento de $R{m}\otimes_{R}{R{n}}$. Considere ahora la secuencia exacta corta
$0\rightarrow{Rn}\rightarrow{N}\rightarrow{N/Rn}\rightarrow{0}$
Ahora vamos tensor de esta secuencia por el módulo de $mR$. Desde $M$ es de torsión libre, esto significa que estamos tensoring por libre (de ahí plana) módulo, y así tener una corta secuencia exacta
$0\rightarrow{mR\otimes_{R}Rn}\rightarrow{mR\otimes_{R}{N}}\rightarrow{mR\otimes_{R}{N/Rn}}\rightarrow{0}$
y así podemos deducir que desde $m\otimes{n}$ es no-cero en $mR\otimes_{R}Rn$ e este módulo se integra en $mR\otimes_{R}{N}$, $m\otimes{n}$ es distinto de cero como un elemento de $mR\otimes_{R}{N}$. Esto es lo más lejos que he conseguido.
Un par de puntos a tener en cuenta: Si yo estaba trabajando a través de una semiheriditary de dominio, a continuación, módulos de plano si y sólo si son de torsión libre, y así creo que el resultado siempre debe mantener en este caso. Por lo tanto, si un contador ejemplo a mi pregunta existe, debemos trabajar sobre los dominios en los que todas las hay que no proyectiva finitely generado ideales. Ya no puedo encontrar una declaración, por no hablar de una prueba de este resultado en cualquier lugar, creo que es probablemente falso. Sin embargo, intuitivamente (al menos para mí), debe ser cierto, por que se siente como siempre que he visto un ejemplo acerca de cómo mostrar algún elemento $m\otimes{n}$ de un tensor de producto es cero, por lo general implica algún tipo de argumento con el bilinearity propiedades del tensor y la torsión de las propiedades del módulo. Me gustaría saber si alguien podría ayudarme en mi trabajo hacia la búsqueda de una prueba o contraejemplo a esta demanda.
