Puntos cerrados sobre variedades.

Question

Considero una variedad de más de un campo $k$, es decir, un integral separados esquema de $X$ finito de tipo más de $k$.

Se sabe por el Nullstellensatz que cualquier punto cerrado en $X$ $\bar k-$ racional punto (donde $\bar k$ denota la clausura algebraica de $k$)como residuo de campo es finito $k$.

Sé que se preguntan qué se puede decir acerca de la relación entre el closedness de un punto y su residuo de campo. E. g. no lo puedo sostener que cualquier $\bar k-$racional punto está cerrado, pero se puede decir algo similar? O ¿cómo se puede caracterizar el cerrado de puntos?

Y lo hace de la situación de cambio si uno asume que la variedad además como completar más de $k$?

Answer 1

El cerrado de los puntos de un determinado tipo de $k$-esquema son precisamente los puntos con el residuo de la extensión de $k(x)/k$ algebraicas (equivalentemente, finito). El residuo de campo de un punto de cierre es un dominio que se finitely generado como un $k$-álgebra, también un campo, por lo tanto, una extensión finita de $k$ (un tipo de) el Nullstellensatz. Para la otra implicación, suponga $X=\mathrm{Spec}(A)$ $A$ un finitely generadas $k$-álgebra. Si $\mathfrak{p}\in X$ es tal que $k(\mathfrak{p})/k$ es algebraica, a continuación, $k(\mathfrak{p})$ es integral sobre el dominio $A/\mathfrak{p}$ que es por lo tanto un campo, es decir, $\mathfrak{p}$ es máxima.

Answer 2

Un esquema (a través de un campo de $k$, por ejemplo) realmente tiene dos tipos de puntos y mucha confusión surge del hecho de que ellos no son distinguidos lingüísticamente. En aras de la claridad voy a llamar a ellos (aquí y ahora!) física y functorial puntos.

Los puntos físicos son elementos del conjunto subyacente $|X|$. Tal $x\in |X|$ tiene un residual de campo $\kappa (x)$ que es una extensión de $k \to \kappa (x) $. Si la extensión es un isomorfismo, decimos que $x$ es racional o $k$-racional.

El functorial puntos son $k$ -morfismos de algunos $k$ -$Y$$X$. Usted está interesado en el caso especial donde $Y$ corresponde a un fijo algebraicas cierre de $k\to \bar k$. En ese caso especial, un $\bar k$punto $f:Spec (\bar k) \to X$ $X$ sin duda tiene una imagen $x=f(\ast)\in X$.
Sin embargo, el punto crucial es que esta imagen no determinan $f$ a todos. Usted también tiene que darse una $k$-álgebra de morfismos $\kappa (x) \to \bar k$ a fin de definir $f$.
Por lo que el mismo $x$ puede corresponder a miles de millones de $\bar k$-puntos de decir $7$ millones de euros.

Un ejemplo Considere el$k=\mathbb Q$$X=Spec( \mathbb Q[T]/\langle T^{7,000,000,000}-2\rangle)=Spec(K)=\lbrace x\rbrace $.
A pesar de $X$ tiene sólo un punto físico, es decir,$x$, hay 7 mil millones de diferentes $\bar {\mathbb Q}$- puntos en $X$ .

[Corresponden -a través de los afín esquema de anillo en el diccionario de la $\mathbb Q$-álgebra morfismos $K \to \bar {\mathbb Q}$, que a su vez se determina únicamente por la elección de un 7,000,000,000-ésima raíz de 2 en $\bar {\mathbb Q}$]

El caso de variedades En el caso de una variedad $X$, el cierre de puntos físicos son exactamente las imágenes de la $\bar k$-puntos de $X$ (ver Keenan de la respuesta). La integridad de la $X$ es irrelevante.