Visualización de la rotación en dimensiones uniformes.

Question

Así que, como sabemos, una transformación lineal $\Bbb R^n\to\Bbb R^n$ debe tener un número par de no-real complejo de autovalores. Una consecuencia de esto es que, en $4$ dimensiones, no podemos hablar de la rotación sobre una línea - el único no-trivial de rotación de las correcciones de un avión.

Ya que no podemos visualizar $4$ dimensiones, yo estaba tratando de pensar en una manera de interpretar estas rotaciones. Una forma útil es imaginar un $3$ espacio tridimensional donde cada punto tiene una cuarta coordenada, que podemos interpretar como algo parecido a "temperatura" del punto.

Después de jugar un poco, me di cuenta de que las rotaciones alrededor de un avión en este mundo parezca extiende a lo largo de un eje. Por ejemplo, si se corrige el $x$-$y$ plano, a continuación, el punto de $(0,0,1)$ podría convertirse $(0,0,2)$. A continuación, la temperatura de ese momento tendría que disminuir en consecuencia. Probablemente no sea una coincidencia, pero en ese caso, una rotación se parece a la compresión/descompresión de gas.

Tan lejos como puedo decir nada acerca de la $6$ dimensiones hace que este más interesante. Sólo tienes que agregar en algunas otras propiedades (densidad, color) y tiene la misma idea básica.

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¿Qué otros métodos sabes para la interpretación de rotación con respecto a un plano? Sin entrar demasiado en la física, ¿cuál es la relación entre la rotación en $4$ dimensiones y nuestra aparentemente $3$ mundo dimensional?

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Basis}{\mathbf{e}}$A visualizar $\Reals^{4}$, me parece útil pensar en los planos ortogonales \begin{align*} \Reals^{2} \times \{0\} &= \{(x, y, 0, 0) : x, y \in \Reals\}, \\ \{0\} \times \Reals^{2} &= \{(0, 0, z, w) : z, w \in \Reals\}. \end{align*} Estos planos obviamente se intersecan en un único punto, el origen. Es claro cómo viajar de $(0, 0, 1, 0)$ $(0, 0, -1, 0)$sin pasar por el primer plano: el Viaje a lo largo de un semi-círculo en el $(0, 0, z, w)$-plano, como $(0, 0, \cos\theta, \sin\theta)$$0 \leq \theta \leq \pi$. Que es un avión que no se separa $\Reals^{4}$ en dos piezas, así como una línea de falla en la separación $\Reals^{3}$ en dos piezas.

Ahora, como Steven Stadnicki dice, "fundamental" la rotación de $\Reals^{n}$ debe ser visto como la elección de algunas orientado avión $\Pi$, la fijación de su $(n - 2)$-dimensiones ortogonales del complemento, y la rotación de $\Pi$ a través de un ángulo de $\theta$ según ordinaria de dos dimensiones de la intuición, es decir, la fijación de una orientada a base ortonormales $\Basis_{1}$, $\Basis_{2}$ para $\Pi$, la asignación de \begin{align*} \Basis_{1} &\mapsto \phantom{-}(\cos\theta)\Basis_{1} + (\sin\theta)\Basis_{2}, \\ \Basis_{2} &\mapsto -(\sin\theta)\Basis_{1} + (\cos\theta)\Basis_{2}, \end{align*} y se extiende por la linealidad.

Por lo general, una rotación de un finito-dimensional espacio de $\Reals^{n}$ sobre un punto de $p$ actúa corrigiendo la colección de las condiciones mutuamente ortogonales, orientado a los aviones a través de $p$, rotación de cada uno de ellos por cierto ángulo $\theta$, y se extiende por la linealidad.

Este 6MB de animación en bucle (demasiado grande para subir a las Matemáticas.SE) muestra el efecto de la rotación en la superficie de Riemann $x + iy = (z + iw)^{2}$ de la superficie de la raíz cuadrada, se proyectan en las tres dimensiones del espacio Cartesiano de coordenadas $(x, y, z, 0)$. El "imaginario" $(0, y, 0, w)$-avión está girando, por lo que el "real" $(x, 0, z, 0)$-plano que contiene la parábola es fijo pointwise.

A pesar de que el plano fijo, el resultado no se asemejan mucho a la sombra de un objeto en rotación en el espacio ordinario.

En cuatro dimensiones y superior, por cierto, hay un nuevo fenómeno: No compacta de un parámetro subgrupos. Rotación alrededor de un eje arbitrario en $\Reals^{3}$ devuelve a la identidad, luego de un ángulo de $2\pi$. En $\Reals^{n}$$n \geq 4$, la rotación en un solo plano tiene la misma propiedad, pero una rotación pueden actuar en un par de planos ortogonales con velocidades angulares cuya relación es irracional.

Concretamente, el parámetro-grupo de rotaciones de actuar con unidad de velocidad angular en el $(x, y, 0 ,0)$-plano y con velocidad angular $\alpha$ $(0, 0, z, w)$- avión lleva el punto de $(1, 0, 1, 0)$ a $$ \gamma(t) = (\cos t, \sen t, \cos \alpha t, \sin \alpha t) $$ en el momento $t$. Si $\alpha$ es irracional, entonces $\gamma(t) = (1, 0, 1, 0)$ si y sólo si $t = 0$.