Cómo probar esta desigualdad$(a^3+b^3+c^3)(ab+bc+ac)\ge 6abc(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

Question

Deje que$a,b,c$ sean números positivos, muestre que

PS

mi intento: deje$$(a^3+b^3+c^3)(ab+bc+ac)\ge 6abc(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$ $ y el$$a+b+c=p,ab+bc+ac=q,abc=r$ $

Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que: $$ (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3) \ geq a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3-3abc = (a + b + c) (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ac) $$ Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $$ (a + b + c) (ab + bc + ac) \ ge 6abc $$ Esto se hace de la siguiente manera: $$ (a + b + c) (ab + bc + ac) \ ge 3 (abc) ^ {\ frac {1} {3}} \ veces 3 (abc) ^ {\ frac {2} {3}} = 9abc \ geq 6abc. $$