Submódulo maximal si y solo si cociente módulo simple?

Question

¿Por qué es cierto que un submódulo$L$ de un módulo$L$ es máximo, entre los submódulos de$M$ distinto de$M$, si y solo si el cociente módulo$M/L$ ¿es simple?

Answer 1

Como dije en la otra pregunta. El bijection entre submódulos que contengan $L$ y submódulos de $M/L$ nos dice que si asumimos que el $L$ es máxima, que no existen adecuada submódulos que estrictamente contiene $L$, entonces no existe ningún adecuada submódulos en $M/L$ como una adecuada submódulo no correspondería a una adecuada submódulo estrictamente contengan $L$ que ya hemos excluido. Ergo $M/L$ es simple.

Asumiendo $M/L$ es simple, esto significa que no existe adecuada no trivial submódulos. Ahora hasta el mismo razonamiento que antes, la existencia de una adecuada submódulo que contiene $L$ correspondería a un adecuado no trivial submódulo en $M/L$ que ya hemos excluido, y, como tal, $L$ entonces debe ser máxima.