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Extensión a la función de Cantor.

Demuestre queg:CI=[0,1] se extiende de manera única a un mapa monótono continuo que aumentag:II, dondeC={0,1}N (;{0,1} está equipado con la topología discreta) yg({an})=i=1ai2i.


Supongo que el problema quiere que construya la función de Cantor, pero no tengo ninguna pista para extenderC aI. Como generalmente no escribimos comoCI, no parece tener sentido para mí, aunqueC es homeomorfo para el conjunto de Cantor, un subconjunto deI.

Cualquier ayuda será apreciada.

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user24142 Puntos 2260

Decir que una función f0 se extiende otra función f, el dominio de f debe estar contenida dentro del dominio de f0, por lo que necesitan algún tipo de incrustación de C a I para la pregunta a hacer sentido.

Espero que se pretende que el C es incluida por e:CI donde e({an})=i=12ai3i y que queremos mostrar que una monotonía de la función g0:II, de tal manera que g0e=g, es único.

Para ver esto, vamos a xIe(C). Por lo tanto, hay algunos menos nN que hay un k 0k<3n1 x(3k+13n,3k+13n). Ahora, afirmo que el trinarias representación de k es tal que no contenga 1's, como si lo hiciera no sería menor n que satisface nuestra condición. Podemos escribir k/2=n1i=1bi3n1i, donde bi{0,1}, y, a continuación, deje l=(b1,b2,,bn1,0,1,1,1,)r=(b1,b2,,bn1,1,0,0,0,).

Yo reclamo que e(l)=3k+13n and e(r)=3k+23n and furthermore g(l)=g(r)=12n+n1i=1bi2i.

Ahora, e(l)<x<e(r), lo g0e(l)g0(x)g0e(r) si g0 es monotono, y por lo g0(x)=g(l)=g(r). Por lo tanto, el valor de g0(x) es único para todos los xIe(C).

Eso es bastante feo, pero un poco justo de que es sólo alrededor de la incrustación de objetos en cuestión.

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