Extensión a la función de Cantor.

Question

Demuestre que$g:C\rightarrow I=[0,1]$ se extiende de manera única a un mapa monótono continuo que aumenta$g:I\rightarrow I$, donde$C=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ (;$\{0,1\}$ está equipado con la topología discreta) y$g(\{a_n\})=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_i}{2^i}$.

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Supongo que el problema quiere que construya la función de Cantor, pero no tengo ninguna pista para extender$C$ a$I$. Como generalmente no escribimos como$C\subset I$, no parece tener sentido para mí, aunque$C$ es homeomorfo para el conjunto de Cantor, un subconjunto de$I$.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Decir que una función $f_0$ se extiende otra función $f$, el dominio de $f$ debe estar contenida dentro del dominio de $f_0$, por lo que necesitan algún tipo de incrustación de $C$ a $I$ para la pregunta a hacer sentido.

Espero que se pretende que el $C$ es incluida por $e: C \to I$ donde $e(\{a_n\} ) = \sum_{i=1}^\infty \frac{2a_i}{3^i}$ y que queremos mostrar que una monotonía de la función $g_0:I\to I$, de tal manera que $g_0 \circ e = g,$ es único.

Para ver esto, vamos a $x \in I \setminus e(C)$. Por lo tanto, hay algunos menos $n\in \mathbb{N}$ que hay un $k$ $0\leq k < 3^{n-1}$ $x \in \left( \frac{3k + 1}{3^n}, \frac{3k + 1}{3^n} \right).$ Ahora, afirmo que el trinarias representación de $k$ es tal que no contenga $1$'s, como si lo hiciera no sería menor $n$ que satisface nuestra condición. Podemos escribir $k/2 = \sum_{i=1}^{n-1} b_i 3^{n - 1 - i},$ donde $b_i \in \{0, 1\}$, y, a continuación, deje $l = (b_1, b_2, \ldots, b_{n-1}, 0, 1, 1, 1, \ldots)$$r = (b_1, b_2, \ldots, b_{n-1}, 1, 0, 0, 0, \ldots)$.

Yo reclamo que $$e(l) = \frac{3k + 1}{3^n} \quad \text{ and } \quad e(r) = \frac{3k + 2}{3^n}$$ and furthermore $$g(l) = g(r) = \frac{1}{2^n} + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{b_i}{2^i}.$$

Ahora, $e(l) < x < e(r)$, lo $g_0\circ e(l) \leq g_0(x) \leq g_0\circ e(r)$ si $g_0$ es monotono, y por lo $g_0(x) = g(l) = g(r)$. Por lo tanto, el valor de $g_0(x)$ es único para todos los $x \in I \backslash e(C).$

Eso es bastante feo, pero un poco justo de que es sólo alrededor de la incrustación de objetos en cuestión.