Considere la posibilidad de $K$ el campo dado por la serie de Laurent $t$ $\mathbb{Q}$ que tiene sólo un número finito de términos con $t$ a un exponente negativo, es decir,
$$K=\left\{\sum_{k\geq n}a_kt^k\,|\,n\in\mathbb{Z}\text{, for all }k\geq n\text{, }a_k\in\mathbb{Q}\right\}$$
con la habitual la adición y la multiplicación, es decir,
$$\sum_k a_kt^k+\sum_kb_kt^k=\sum_k(a_k+b_k)t^k$$
y
$$\left(\sum_{k\geq n} a_kt^k\right)\left(\sum_{k\geq m} b_kt^k\right)=\sum_{k\geq n+m}\left(\sum_{\substack{i+j=k\\i\geq n,j\geq m}}a_ib_j\right)t^k\text{.}$$
Este campo puede ser una ordenó campo definiendo el conjunto de elementos positivos para ser
$$K^+=\left\{\sum_{k\geq n}a_kt^k\in K\,|\,a_n>0\right\}\text{.}$$
Uno fácilmente se comprueba que $K^+$ es cerrado bajo la suma y la multiplicación y de que cada elemento de a $K$ está en $K^+$, $-K^+$ o $\{0\}$. Por lo tanto, $x\geq y$ dada por
$$x-y\in K^+\cup\{0\}$$
define un orden total compatible con la estructura de campo de $K$.
Aquí, los contraejemplos está dada por la función
$$f:K\rightarrow K$$
definido por
$$f\left(\sum_{k\geq n} a_kt^k\right)=\sum_{k\geq n} (1+\delta^1_k)a_kt^k\text{,}$$
donde $\delta^1_k$ es el Kornecker del delta igual a uno si $1=k$, cero en caso contrario-, que es monótono, ya que se necesita positivos aspectos positivos. (De forma más sencilla, $f$ multiplica por $2$ el coeficiente de $t$.) Claramente, $f$ es un isomorfismo de la orden de aditivo grupos que $f(1)=1$, pero no es compatible con la multiplicación ya que
$$t^2=f(t^2)\neq f(t)^2=4t^2\text{.}$$
(El problema es que desde $Q$ no es denso en $K$ con respecto a la orden de la topología, no podemos garantizar que el uso de la continuidad que el hecho de que $f$ preserva la multiplicación en $\mathbb{Q}$ implica que se conserva en $K$.)
EDIT: Por un contraejemplo con una orden de campo cuyos elementos positivos son los cuadrados, considere la posibilidad de un campo de $L$ cuyos elementos son el formal de la serie dada por
$$\sum_{k\geq n}a_kt^{k/2^m}$$
con $a_k\in\mathbb{R}$$n,m\in\mathbb{Z}$. Definir la suma, la multiplicación y el orden en la misma forma como lo hicimos en el campo anterior. Por lo concreto, esto significa que en la $L$:
$$\sum_{\gamma}a_\gamma t^{\gamma}+\sum_{\gamma}b_\gamma t^{\gamma}=\sum_\gamma (a_\gamma+b_\gamma)t^\gamma\text{,}$$
$$\left(\sum_{k\geq n_0}a_kt^{k/2^{m_0}}\right)\left(\sum_{k\geq n_1}a_kt^{k/2^{m_1}}\right)=\sum_{k\geq n_02^{m_1}+n_12^{m_1}}\left(\sum_{\substack{i2^{m_1}+j2^{m_0}=k\\i\geq n_0,j\geq n_1}}a_ib_j\right)t^{k/2^{m_0+m_1}} \text{,}$$
y
$$L^+=\left\{\sum_{k\geq n}a_kt^{k/2^m}\in L\,|\,a_n>0\right\}\text{.}$$
De esta manera, la anterior contraejemplo funciona exactamente de la misma manera, consideramos que
$$f:L\rightarrow L$$
que multiplica el coeficiente de $t$$2$. Y comprobar fácilmente que es $f$ también en este caso un isomorfismo de ordenada aditivo grupos, de tal manera que no es compatible con la estructura multiplicativa.
Sólo tenemos que verificar que cada elemento tiene una raíz cuadrada, por eso vamos a utilizar un cálculo directo. Si
$$f=\sum_{k\geq n}a_kt^{k/2^m}\in L^+\text{,}$$
con $a_n>0$, para
$$g=\sum_{k\geq n}b_kt^{k/2^{m+1}}$$
planeamos la ecuación
$$g^2=f$$
lo que se traduce en
$$
(2-\delta_{k-n}^n)b_{k-n}b_n+\sum_{\substack{i+j=k\\i,j> n}}b_ib_j=\sum_{\substack{i+j=k\\i,j\geq n}}b_ib_j=\begin{cases}
a_{k/2}&\text{ if }k\text{ even}\\
0&\text{ if }k\text{ odd}
\end{casos}\text{,}$$
para $k\geq 2n$. Mediante la resolución -que sólo es posible cuando se $a_n\geq 0$, de lo contrario $b_{n}^2=a_n$ no tiene solución, tenemos que
$$g^2=f$$
cuando
$$
b_k=\begin{cases}
\sqrt{a_n} & \text{if }k=n\\
(2\sqrt{a})^{-1}\left(a_{k+n}-\sum_{\substack{i+j=n+k\\i,j>n}}b_ib_j\right) &\text{if }k+n\neq 2n\text{ even}\\
-(2\sqrt{a})^{-1}\sum_{\substack{i+j=n+k\\i,j>n}}b_ib_j&\text{if }k+n\text{ odd}
\end{casos}\text{.}$$
En otras palabras, $g$ es una raíz cuadrada de $f$.
