Cálculo de la integral$\int r^2 \text{J}_0(\alpha r) \text{I}_1(\beta r)\text{d}r$

Question

Me encontré con el siguiente integral en un problema físico $$I=\int r^2 \text{J}_0(\alpha r) \text{I}_1(\beta r)\text{d}r$$ donde $\text{J}_0$ es la función de Bessel de primera clase de la orden de $0$ $\text{I}_1$ es la función Bessel modificada de orden $1$. También, $\alpha$ $\beta$ son arbitrarias de los números reales.

Parece que ARCE y WOLFRAM no son capaces de encontrar la primitiva. Sin embargo, creo que no debería ser una ordenada en términos de funciones de Bessel.

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Mi Pensamiento

Mi instinto en la integración me dice que use integración por partes y las relaciones recursivas para las funciones de Bessel. Pero yo no podía ir todavía.

Answer 1

Primera nota que

PS

Luego podemos escribir \begin{align} \mathcal{I}(t):=&\int_0^t r^2 \text{J}_0\left(\alpha r\right)\text{I}_1\left(\beta r\right) dr\\ =&\frac{\partial}{\partial\beta}\int_0^t r\text{J}_0\left(\alpha r\right)\text{I}_0\left(\beta r\right)dr\\ =& \frac{\partial}{\partial\beta}\left[\frac{t\left(\alpha \text{J}_1(\alpha t)\text{I}_0(\beta t)+\beta \text{J}_0(\alpha t)\text{I}_1(\beta t)\right)}{\alpha^2+\beta^2}\right]. \end {align} La última línea sigue de la fórmula 1.11.5.2 en Vol. II de Prudnikov-Brychkov-Marychev (y, por supuesto, puede verificarse por diferenciación directa).

Answer 2

De acuerdo al Empezar a Usar Púrpura's respuesta, sólo tomé los cálculos y quería poner la respuesta final aquí

$$\eqalign{ & I = {1 \over {{\alpha ^2} + {\beta ^2}}}\,\,\,\,\a la izquierda( {\alpha {\text{I}_1}\left( {\beta r} \right){\text{J}_1}\left( {\alpha r} \right) + \beta {\text{I}_0}\left( {\beta r} \right){\text{J}_0}\left( {\alpha r} \right)} \right){r^2} \cr & \,\,\, - {{2\beta } \over {{{\left( {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \right)}^2}}}\left( {\alpha {\text{I}_0}\left( {\beta r} \right){\text{J}_1}\left( {\alpha r} \right) + \beta {\text{I}_1}\left( {\beta r} \right){\text{J}_0}\left( {\alpha r} \right)} \right)r \cr}$$

Esperanza de que pueda ser útil para los lectores futuros. Todavía puede haber otros heurística maneras para calcular esta integral, así que no dude en escribir una nueva respuesta con un enfoque diferente. :)