Un poco tarde a la fiesta aquí, pero pensé que podría inclinar a compartir algo útil que he aprendido acerca de la suma de los productos/identidades cuando me enteré de inducción, especialmente dado que esta cuestión tiene el proof-writing de etiquetas (sólo voy a centrar en el paso inductivo, como ya se ha establecido en el caso base).
Para la mayoría de los problemas básicos, la idea es "pelar la $k+1$th sumando" y, a continuación, utilizar la hipótesis inductiva adecuadamente, etc. Te voy a dar un ejemplo, en lo concerniente a su problema concreto (ya que usted ya ha aceptado una respuesta, me imagino que ya han demostrado el resultado).
Usted está tratando de mostrar que
$$
2+4+6+\cdots+2n=n^2+n\etiqueta{1}
$$ for all $n\geq 1$, where $n\in\mathbb{Z^+}$. Notice that we can represent $(1)$ by using $\Sigma$-notación:
$$
\sum_{i=1}^n 2i=n^2+n.\la etiqueta{2}
$$
Por lo tanto, estamos realmente tratando de demostrar que $(2)$ tiene para todos los $n\in\mathbb{Z^+}$. Para este fin, vamos a $P(n)$ denotar la declaración de
$$
P(n) : \sum_{i=1}^n 2i=n^2+n.
$$
Corregir algunos $k\geq 1$ y asumen $P(k)$ para ser verdad; es decir,
$$
P(k) : \sum_{i=1}^k 2i=k^2+k
$$
sostiene. Para ser mostrado es que $P(k+1)$, donde
$$
P(k+1) : \sum_{i=1}^{k+1} 2i=(k+1)^2+(k+1),
$$
de la siguiente manera. Comenzando con el lado izquierdo de $P(k+1)$,
\begin{align}
\sum_{i=1}^{k+1} 2i &= \underbrace{\sum_{i=1}^k 2i + 2(k+1)}_{\text{"peel off the %#%#%th summand"}}\tag{by definition of %#%#%}\\[1em]
&= (k^2+k) + 2(k+1)\tag{by %#%#%, the ind. hyp.}\\[1em]
&= (k+1)^2+(k+1),\tag{manipulate expression}
\end{align}
terminamos con el lado derecho de la $k+1$.
Así, por inducción matemática, la declaración de $\Sigma$ mantiene para todos $P(k)$. $P(k+1)$
